Estadística Soluciones ejercicios: Probabilidad

Estadística

Soluciones ejercicios: Probabilidad

Versión 8

Emilio Letón

1.        Nivel 1

1. Demostrar las propiedades siguientes relativas a las operaciones con sucesos

SOLUCIÓN:

A modo de ejemplo se probará la propiedad distributiva de la unión respecto de la intersección, es decir

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

En primer lugar se prueba la inclusión ” c ”. Para ello se supone que x ∈ A ∪ (B ∩ C), por lo que x ∈ A ó x ∈ B ∩ C. En ambos casos x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C), ya que si x ∈ A ⇒ x ∈ A ∪ B y x ∈ A ∪ C y en el otro caso si x ∈ B ∩ C ⇒ x ∈ B y x ∈ C ⇒ x ∈ A ∪ B y x ∈ A ∪ C.

En segundo lugar se prueba la inclusión ” 3 ”. Para ello se supone que x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C),

con  lo  que  x  ∈  (A ∪ B)  y  x  ∈  (A ∪ C).  Si  x  ∈  A  ⇒  x  ∈  A ∪ (B ∩ C)  y  si  x  ∈/ x ∈ (A ∪ B) y x ∈ (A ∪ C), se tiene que x ∈ B ∩ C y por tanto x ∈ A ∪ (B ∩ C).

A, al ser

1. Decir si es verdera o falsa la siguiente afirmación. En caso de que sea verdadera demostrarlo, y en caso de que sea falsa dar un contraejemplo:[pic 1]

”Si A y B son dos sucesos cualesquiera se verifica que A∪ B = A ∩ B ∪ A ∩ B ∪ (A ∩ B) .”[pic 2][pic 3]

SOLUCIÓN:

Es verdadera.

En primer lugar se prueba la inclusión ” c ”. Para ello se supone que x ∈ A ∪ B, por lo que x    A ó x    B. Si x    A y x / B     x    A   B y por tanto x     A   B     A   B    (A   B). Si x / A y x   B     x   A   B y por tanto x     A B     A   B    (A   B). Por último si x ∈ A y x ∈ B ⇒ x ∈ A ∩ B y por tanto x ∈ A ∩ B ∪ A ∩ B ∪ (A ∩ B).[pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14]

En segundo lugar se prueba la inclusión ” 3 ”. Si . x ∈ A ∩ B ∪ A ∩ B ∪ (A ∩ B) ⇒ x ∈

A ∩ B ó x ∈ A ∩ B ó x ∈ A ∩ B. Y en cualquier caso se tiene que x ∈ A ∪ B.[pic 15][pic 16]

1. Demostrar las Leyes de Morgan para la unión y la intersección de sucesos. Es decir, demostrar que:

1. A ∪ B = A ∩ B. En general[pic 17][pic 18][pic 19]

[pic 20]        [pic 21] [pic 22]

[pic 23]

n i=1

Tn[pic 24][pic 25][pic 26][pic 27][pic 28]

Ai =

n            

Ai.[pic 29]

i=1

n            [pic 30]

[pic 31]

SOLUCIÓN:[pic 32]

1. En primer lugar se prueba la inclusión ” c ”. Para ello si x ∈ A ∪ B ⇒ x ∈/ (A ∪ B) ⇒ x ∈/ A y x ∈/ B ⇒ x ∈ A y x ∈ B ⇒ x ∈ A ∩ B. En segundo lugar se prueba la inclusión ” 3 ” de forma análoga a la inclusión ” c ”. El caso general se prueba por inducción.[pic 33][pic 34][pic 35][pic 36][pic 37]
2. Análogo al caso a).

1. Si en una tarea manual existe una probabilidad de cometer un fallo igual a 0,01, si esta operación hay que repetirla 100 veces, ¿cuál será la probabilidad de cometer al menos un fallo en las 100 repeticiones?

SOLUCIÓN:

Sea F el suceso ”cometer al menos un fallo” y sea Fi el suceso ”cometer un fallo en el movimien- to i”, se trata, por tanto, de calcular P (F), que es igual a

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