INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE LAS PROBABILIDADES

INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE LAS

PROBABILIDADES

TABLA DE CONTENIDO

1. OBJETIVO 2

2. RESEÑA HISTÓRICA 2

3. ENFOQUES CONCEPTUALES 3

3.1. EL ENFOQUE CLÁSICO: 3

3.2. ENFOQUE DE FRECUENCIA RELATIVA 3

3.3. EL ENFOQUE SUBJETIVO 4

4. CONCEPTO DE PROBABILIDAD 4

5. SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES 5

5.1. EJERCICIOS 6

6. SUCESOS COMPATIBLES 8

7. SUCESOS INDEPENDIENTES 9

7.1. EJERCICIOS 10

8. SUCESOS DEPENDIENTES 12

8.1. EJERCICIOS 12

9. TÉCNICAS DE CONTEO 13

9.1. FORMULA DE LA MULTIPLICACIÓN 13

9.2. DIAGRAMA DEL ÁRBOL 14

9.3. REGLA DEL EXPONENTE 15

9.4. PERMUTACIONES 16

9.4.1. PERMUTACIONES CON REPETICIÓN 16

9.5. VARIACIONES 18

9.6. COMBINACIONES 19

10. EJERCICIOS 22

INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE LAS

PROBABILIDADES

OBJETIVO

Mostrar al estudiante la importancia y la utilidad del método estadístico en el ámbito económico – empresarial, con el propósito de aplicar los métodos y técnicas mas adecuadas para el correcto tratamiento y análisis de la información proporcionada por los datos que generan la actividad económica. Además se comienza afianzando los conocimientos previos que el estudiante posee de Estadística Descriptiva y algunos conceptos nuevos relacionados con Probabilidades.

1. RESEÑA HISTÓRICA

El concepto de probabilidad nace con el deseo del hombre de conocer con certeza los eventos venideros. Es por ello que el estudio de las probabilidades surge como una herramienta utilizada por los nobles para ganar en los juegos y pasatiempos de la época. El desarrollo de estas herramientas fue asignado a los matemáticos de la corte.

Con el tiempo estas técnicas matemáticas se perfeccionaron y utilizaron en otras actividades muy diferentes para las que fueron creadas. Actualmente con avance de la computación se han desarrollado programas para el estudio de las probabilidades disminuyendo considerablemente el margen de error en el cálculo.

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PROBABILIDADES

2. ENFOQUES CONCEPTUALES

En el desarrollo de las probabilidades se han presentado tres enfoques para definir la probabilidad y determinar los valores:

3.1. EL ENFOQUE CLÁSICO:

Se basa en la suposición de que cada resultado sea igualmente posible se le determina “Enfoque a priori”, porque permite calcular el valor de la probabilidad antes de observar cualquier evento de la muestra.

Si hay h posibilidades xxx favorables a la ocurrencia de un evento A y n posibilidades de resultados desfavorables a la ocurrencia de A y todos los resultados son igualmente posibles y mutuamente excluyentes (no pueden ocurrir al mismo tiempo), entonces la probabilidad de que ocurra A, viene dado por:

EJEMPLO:

a. Si tenemos una tómbola con 15 balotas rojas y 10 blancas. La probabilidad de sacar una balota blanca en un evento es:

3.2. ENFOQUE DE FRECUENCIA RELATIVA

Denominado también “Enfoque Empírico”, se basa en determinar la probabilidad sobre la perspectiva de la proporción de veces que ocurre un evento favorable en un numero favorable de observaciones y en la recopilación de datos.

EJEMPLO:

 Se ha observado que 12 de cada 50 motociclistas que pasan por una determinada vía no llevan puesto el casco; si un guardia de Transito se para en la vía ¿Cuál es la posibilidad de que detenga a un para hacerle un parte por esta infracción de no llevar puesto el casco?.

3.3. EL ENFOQUE SUBJETIVO

Establece la probabilidad de ocurrencia de un evento, es el grado de creencia por parte de que un evento ocurra, basado en toda la evidencia a su disposición. Bajo esta premisa se puede decir, que el evento ocurrirá o no ocurrirá esta sola vez. El valor de probabilidad bajo este enfoque es un juicio personal.

3. CONCEPTO DE PROBABILIDAD

Se define como calculo de probabilidad al conjunto de reglas que permiten determinar si un fenómeno ha de producirse fundado en la suposición en el calculo, las estadísticas y la teoría.

 EL VALOR DE LA PROBABILIDAD

El valor mas pequeño que puede tener la probabilidad de ocurrencia de un evento, es igual a “0”, el cual indica que el evento es imposible y el valor mayor es “1”, que indica que el evento ocurrirá con certeza.

Ahora, si P(A) es la probabilidad de ocurrencia de un evento A y P(A´) la probabilidad de no ocurrencia de A, se tiene que:

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4. SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES

Se dice que dos o más sucesos son mutuamente excluyentes cuando solamente la ocurrencia de uno de ellos se puede dar en un solo ensayo.

Supongamos la posibilidad de n sucesos mutuamente excluyente con probabilidades respectivas de P1, P2, P3, P4, … , Pn, por lo tanto, la probabilidad de que estos sucesos se presenten en un solo ensayo viene dado por:

EJEMPLOS:

a. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un AS o un caballo, sacando una sola carta en un baraja española de 40 cartas?

b. La probabilidad de obtener un as o un tres en el lanzamiento de un dado

5.1. EJERCICIOS

1. Si de un naipe bien barajado, de 40 cartas, se extrae una carta; cuál es la probabilidad de obtener:

a. Un caballo o un rey

b. Una sota de copas o un rey.

c. Una figura o copas.

d. Oros o un seis.

e. Seis de espadas o figura.

f. Un AS o figura.

2. Se tiene una urna con 20 bolas de plástico distribuidas en los siguientes colores: 5 amarillas, 8 negras y 7 rojas. Extraiga una bola, teniendo el cuidado de revolverlas antes de extraerla. Cual es la probabilidad de que la bola seleccionada…

a. Sea negra.

b. No sea amarilla.

c. Sea roja

d. Sea amarilla o negra.

3. Suponga que PA = 0,20 ; PB = 0,70 y P(A Y B) = 0,10

a. ¿A y B son mutuamente excluyentes?

b. Hallar P(A O B)

c. Encuentre P(A´)

d. ¿Son A y B colectivamente exhaustivos?

4. Supongamos una baraja de 52 cartas de la que debemos extraer una carta. Nos dan un premio si la carta extraída es un trébol o una K. ¿Cuál es la probabilidad de ganar?

5. Consideremos el lanzamiento de un dado.

a. Usted gana si el resultado es impar o divisible por dos. ¿Cual es la probabilidad de ganar si se obtiene un resultado por o divisible por tres?

b. ¿Cuál es la probabilidad de ganar si se obtiene un resultado por o divisible por tres?

6. La mamá lleva a su hijo a una tienda y le ofrece una de tres galguerías. La probabilidad de que escoja un helado es de 0.70, la de un kumis es del 0.40 y que escoja un helado y un kumis es de 0.30. ¿cual es la probabilidad de que compre helado o kumis?

7. En un día programado para realizar un paseo por el parque, la probabilidad de que haga sol es de 0.60; de que llueva 0.20 y de que haga sol y llueva es 0.03. ¿Cuál es la probabilidad de que llueva o haga sol?

8. Si el Banco de la República exige que se rebaje la tasa de interés al 32% existirá una probabilidad del 80% de que la inflación para ese año sea superior al 25%. ¿Qué implementación le da usted al 80%?

9. Se compraron 30 lápices de diferentes colores: 12 azules, 8 amarillo y 10 verdes. ¿Cuál es la probabilidad de extraer un lápiz de color:

a. Azul

b. Azul o amarillo.

c. Amarillo o verde.

10. A un cargo se presentan 16 candidatos de diferentes profesiones: 6 Economistas, 4 Administradores, 2 Contadores y 4 Ingenieros Industriales. ¿Cuál es la probabilidad de que el cargo sea ocupado por un Economista o un Administrador?

5. SUCESOS COMPATIBLES

Dos sucesos son compatibles cuando la posibilidad de ocurrencia de uno no impide la ocurrencia del otro. La probabilidad de uno de los eventos se calcula mediante la fórmula:

En Teoría de Conjuntos se puede ilustrar en Diagrama de Venn de la siguiente forma:

EJEMPLOS:

1. Se extrae una carta de una baraja española de 40 cartas. Hallar la probabilidad de la carta extraída sea AS o copas.

2. Al

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