Integral de Riemann 17
Enviado por MauroRCyrus • 5 de Marzo de 2014 • Tareas • 1.212 Palabras (5 Páginas) • 231 Visitas
Integral de Riemann 17
Intuitivamente, se ve que, si n ® ¥ y ambas sucesiones convergen,
entonces coinciden los dos límites, cuyo valor será el del área buscada.
1.4. Integral de Riemann
Si sup {s(f , P)} = inf {S(f , P)} para toda partición P de [a, b], diremos que
y = f(x) es una función integrable de Riemann en [a, b], abreviadamente
f(x) Î R([a, b]), y a ese valor se le llamará integral (de Riemann) de f(x) en el
intervalo [a, b], denotándola por:
ò
b
a
f = sup {s(f, P)} = inf {S(f, P)}
Obsérvese que la integral de Riemann, caso de existir, de una función toma
un valor real.
1.5. Teorema
y = f(x) es una función integrable Riemann Û " e >0 $ una partición P '
S(f,P) - s(f,P) < e.
Demostración
Þ] Sea f Î R([a, b]), y sea e >0
ò
b
a
f = sup {s(f, P)} Þ $ P1
partición de [a, b] ' ò
b
a
f ( ) P1 - s f , <
2
e
ò
b
a
f = inf {S(f, P)} Þ $ P2
partición de [a, b] ' - ò
b
a
f + ( ) P2 S f , <
2
e
Sumando ambas desigualdades, miembro a miembro, se llega a:
( ) - ( ) < e 2 P1 S f ,P s f ,
Sea P = P1 È P2
, entonces:
( ) ( ) ( ) ( ) 1 P2
s f ,P £ s f ,P £ S f ,P £ S f ,
con lo que tenemos que:
18 Introducción al cálculo integral
( ) - ( ) £ ( ) - ( ) < e 2 P1 S f ,P s f ,P S f ,P s f , (c.q.d.)
<= ] Sabemos que inf {S(f, P)} £ S(f, P) para cualquier P
sup{s(f, P)} ³ s(f, P) para cualquier P
Entonces, se tiene
0 £ inf {S(f, P)} - sup{s(f, P)} £ S(f, P) - s(f, P) < e " e > 0
por hipótesis. Lo que nos lleva a que:
inf {S(f, P)} = sup{s(f, P)} Þ f Î R([a, b]) (c.q.d.)
1.6. Algunas propiedades de la integral de Riemann
1) f Î R([a, b]) Û " c Î(a, b), f(x) es integrable en cada uno de los
intervalos [a, c], [c, b]. Además se verifica que:
ò
b
a
f =
ò
c
a
f + ò
b
c
f
2) Si f Î R([a, b]), entonces kf Î R([a, b]), donde k es una constante
cualquiera. Además se verifica que:
ò
b
a
kf = k
ò
b
a
f
3) Si f , g Î R([a, b]), entonces f + g Î R([a, b]). Además se verifica que:
( )
ò
+
b
a
f g = ò
b
a
f + ò
b
a
g
Integral de Riemann 19
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