Integral

El concepto de integral se remonta a los orígenes de cálculo infinitesimal, cuandoNewtony Leibniz descubren que el problema del cálculo de áreas puede abordarse mediante la operación inversa de la derivación, el cálculo de primitivas, consistente en obtener una función a partir de su derivada. De esta forma, dos problemas geométricos clásicos, el cálculo de la recta tangente a una curva y el cálculo de áreas, pueden verse cada uno como inverso del otro. La primera de finición rigurosa de integral, sin basarse en la resbaladiza idea deinfinitésimo, se debe a Cauchy, y es exactamente la que aquí vamos a estudiar, limitándonos a considerar la integral de una función continua en un intervalo cerrado y acotado, aunque Cauchy consideraba casos algo más generales .Durante todo el sigloXIX se estudiaron diversas generalizaciones de la integral definida por Cauchy, sin llegar a una teoría del a integración que pudiera considerarse acabada. En 1902, el matemático francés H. Lebesgue (1875-1941) hizo ver, con su tesis doctoral, que los métodos usados hasta entonces no eran los más adecuados, e interpretando de otra forma las ideas de Leibniz ,consiguió un concepto de integral mucho más general y efectivo que cualquieradelosanteriores,dandolugaraunateoríadelaintegraciónplenamentesatisfactoria. Sentó así las bases para el desarrollo del Análisis Matemático, y de otras muchas disciplinas, a todo lo largo del siglo XX. Para estudiar la integral de Cauchy, necesitamos la noción de continuidad uniforme, que discutiremos previamente. En realidad Cauchy no distinguía entre continuidad y continuidad uniforme, sin que ello le condujera a error, por razones que enseguida entenderemos. Aclarada la idea de continuidad uniforme, podremos definir cómodamente la integral de una función continua en un intervalo cerrado y acotado, deduciendo fácilmente sus propiedades básicas. Como principal resultado de este tema probaremos el Teorema Fundamental del Cálculo, cuyo nombredayaideadesuimportancia.Estableceprecisamentelarelaciónentrelosconceptosde derivada y de integral.

En 1880-90, y paralelamente a las ecuaciones integrales entró en las matemáticas aplicadas otro tipo más complicado de ecuación. La incógnita de una ecuación dada puede aparecer por lo menos una vez bajo un signo integral y por lo menos una vez bajo un signo de derivación. A esas ecuaciones les llamó Volterra, que inició su teoría en 1890, integro-diferenciales.[12] Diremos, ya que viene a cuento, que la obra atrevidamente creadora de Volterra en análisis funcional desde su iniciación en 1887 a su madurez en 1930-40, hace de él uno de los inventores más imaginativos de la historia del análisis. Constantemente se orientaba en problemas científicos. Como ya indicamos a propósito de Fredholm, el análisis no puede vivir sólo por el rigor, ni hay fundamento histórico para anticipar que las ecuaciones sucesivas sean el residuo definitivo que deje el análisis en la matemática. Continuamente se exigen nuevos inventos para mantener la vitalidad y para proporcionarle al rigor y a la abstracción materia para que se nutran de manera continuada. Aunque- no se ha acusado de falta de rigor a las prolíficas aportaciones de Volterra, el significado peculiar que tienen para el análisis posterior a la era de Weierstrass es la abundancia de ideas nuevas. Las ecuaciones íntegro-diferenciales hicieron posible abordar matemáticamente fenómenos como el de la histéresis eléctrica y magnética, en que el estado de un sistema físico depende no sólo del que tenía inmediatamente antes, sino también de todos los anteriores. Volterra llamó hereditarios a los fenómenos condicionados por toda la historia previa del sistema en cuestión. A todo el que haya doblado o retorcido un alambre se le ocurrirán ejemplos que le sean familiares de fenómenos hereditarios de la elasticidad. La teoría de funcionales, con sus ecuaciones correspondientes, aún más general, fue iniciada por Volterra y la desarrollaron ampliamente él y otros eminentes analistas del siglo XX; incluye las ecuaciones integrales, las ecuaciones integro-diferenciales y algunas partes del cálculo de variaciones. En seguida nos ocuparemos de ello. Por Historia de las matematicas www.librosmaravillosos.com Eric Temple Bell 711 Preparado por Patricio Barros el momento señalaremos una importantísima limitación, de la que hasta ahora nadie se da por enterado del análisis clásico que se origina en la física matemática. La inmensa mayor parte del análisis aplicado está sujeto a esa limitación. Si esa restricción fuera una simplificación excesiva de la ciencia física, existe por lo menos la posibilidad de que para el año 2000 el análisis que en 1945 era indispensable para Ja ciencia esté tan anticuado y sea tan impotente científicamente, como las matemáticas de Babilonia del año 2000 a. c. La ciencia se mueve más aprisa que hace cuatro mil años, y en lugar de conseguir la aterradora inmortalidad de la astrología y de la numerología, una descripción falsa del mundo se olvida ahora en diez años. Prácticamente toda la física matemática clásica se ha desarrollado partiendo de la hipótesis de linearidad. liemos de remitir al lector que quiera un enunciado preciso de lo que a este respecto significa linearidad, a los textos de física; a continuacióndamos una grosera descripción valiéndonos de un ejemplo. La hipótesis de linearidad se llama también en óptica física, principio de superposición. Como ya liemos indicado más atrás, el principio se remonta a Daniel Bernoulli Si las propiedades de un medio clástico son tales que los esfuerzos son lineales en los desplazamientos vectoriales o en sus derivadas sustanciales, se pueden obtener las perturbaciones en un punto cualquiera P del medio superponiendo las perturbaciones que llegan a P procedentes de todos los centros de perturbación de una determinada región. Es decir, que el efecto total de varios desplazamientos se puede obtener por la adición vectorial de cada uno de los desplazamientos. (Esto puede no ser cierto más en primera aproximación.) Dicho más concisamente, los desplazamientos son aditivos. En un sentido análogo los campos magnéticos y los campos gravitatorios de Newton son aditivos o superponibles. Los campos gravitatorios de Einstein no son aditivos. Cuando el principio de superposición es válido para una situación física que se pueda traducir en una ecuación diferencial, ésta es lineal.

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