INTRODUCCION A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Austin SanzApuntes9 de Febrero de 2016
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INSTITUTO TECNOLOGICO DE IZTAPALAPA
MATERIA:
ECUACIONES DIFERENCIALES
PROFESOR:
ING. RENÉ TOCOHUA ROJAS
ALUMNO:
SÁNCHEZ JIMÉNEZ AGUSTÍN
PORTAFOLIO DE EVIDENCIAS
GRUPO:
ISC-4AM
INDICE:
CRITERIOS DE EVALUACION
TEMARIO
INTRODUCCION A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
PROBLEMARIO UNIDAD UNO
EXAMEN UNIDAD UNO
PROBLEMARIO UNIDAD DOS
EXAMEN UNIDAD DOS
PROBLEMARIO UNIDAD TRES
EXAMEN UNIDAD TRES
PROBLEMARIO UNIDAD CUATRO
EXAMEN UNIDAD CUATRO
PROBLEMARIO UNIDAD CINCO
EXAMEN UNIDAD CINCO
CONCLUSIONES.
CRITERIOS DE EVALUACION:
4unidades
Cinco exámenes
Ponderación por cada unidad.
Examen | 50% |
Solución de problemario | 30% |
Trabajo en clase | 10% |
Participacion | 10% |
Solución de problemarios a computadora empleando editor de ecuaciones de Word
INTRODUCCION A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES.
Las ecuaciones diferenciales son algo nuevo para nosotros. Sin embargo ya estamos familiarizados con el problema de resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones algebraicas, y también tenemos una idea clara de lo que es una solución aún cuando en muchos casos no podemos encontrarla, como es el caso de las ecuaciones de alto grado o que involucran funciones trascendentes.
En las ecuaciones que ya conocemos pueden aparecer una o más variables.
Las primeras pueden definirse como expresiones del tipo
F(x) = 0 donde x representa la variable en cuestión y F una función real de variable real cuya regla de correspondencia está dada en términos de sumas, productos, o potencias de funciones familiares como la idéntica, el logaritmo, las funciones trigonométricas o las inversas de éstas. Si la ecuación tiene más de una variable, digamos x1, x2, ..., xn entonces quedaría def nida como una expresión del tipo F(x1, x2, ..., xn) = 0 siendo F una función de Rn en Rm. En este caso la ecuación es vectorial y constituye lo que conocemos como un sistema de ecuaciones. Si el sistema tiene tantas ecuaciones como incógnitas es de la forma siguiente:
F1(x1, x2, ..., xn) = 0
F2(x1, x2, ..., xn) = 0
· · · · · · · · · · · · · · ·· Fn(x1, x2, ..., xn) = 0
Aquí el problema consiste en resolver simultáneamente varias ecuaciones y conocemos métodos aplicables cuando F es una función lineal:
Fi(x1, x2, ..., xn) = ai
1x1, ai
2x2, ..., ai
nxn + bi.
Ejemplos de los tipos de ecuaciones mencionadas anteriormente son:
i) x + 2 = 0
ii) x2 + 3x + 2 = 0
iii) sen2x+cos2x −1 = 0
iv) 2x + y + 3 = 0
v) ( x + 2y + 3 = 0 3x + 5y −2 = 0 )
Utilizando el lenguaje del cálculo diferencial podemos escribir ecuaciones donde aparezca una función f : R → R , su variable x, y derivadas de diferentes órdenes de f como por ejemplo:
i) f0(x) −5 = 0
ii) 8f00(x) + 6f0(x) + 3f(x) + 2 = 0
iii) f(vi)(x) + f(x) = 0
iv) (f00(x))3 + 2xf(x)+senx = 0
que son ecuaciones del tipo
F(x, f(x), f0(x), ..., f(n)(x)) = 0 y son llamadas ecuaciones diferenciales ordinarias. El orden de la mayor derivada que aparezca es entendido como el orden de la ecuación diferencial.
Podemos también escribir sistemas de ecuaciones deferenciales donde aparezcan dos o más funciones de una misma variable como por ejemplo:
( f0(x) − f(x) + q(x) = 0 q0(x) − f(x)q(x) = 0 )
Constituye un sistema de ecuaciones ordinarias, los cuales en general son de la forma:
F1(x, f1, f01 , ..., f(n)
1 , ..., fm, f0m, ..., f(n)
m ) = 0
F2(x, f1, f01 , ..., f(n)
1 , ..., fm, f0m, ..., f(n)
m ) = 0
...................................................
Fm(x, f1, f01, ..., f(n) 1 , ..., fm, f0m , ..., f(n) m ) = 0 el orden de la mayor derivada que aparece se define como el orden del sistema de ecuaciones diferenciales. El sistema que se dio en el ejemplo anterior es entonces uno de primer orden. Hay otros tipos de ecuaciones que pueden ser considerados como por ejemplo aquel donde aparece una función f de Rn en R, sus variables y derivadas parciales de diferentes órdenes:
i) Si f : R3 → R, f = f(x, y, z)
∂f
∂x + 2x∂2f
∂y2 + y ∂2f
∂x∂y + ∂f
∂z = 0
ii) Si f : R2 → R, f = f(x, y)
∂2f
∂x2 + ∂2f
∂y2 + f = 0
iii) Si f : R4 → R, f = f(x, y, z, t)
∂2f
∂x2 + ∂2f
∂y2 + ∂2f
∂z2 = k ∂2f
∂t2
Estas ecuaciones son llamadas ecuaciones diferenciales parciales y también en este caso el orden de la ecuación se define como el orden de la mayor derivada que aparezca. Todas estas son ecuaciones funcionales pues las incógnitas no son números sino funciones. Existen otros tipos de ecuaciones funcionales como las ecuaciones integrales y las integro-diferenciales pero por el momento estamos interesados en las ecuaciones diferenciales y de estas especialmente en las ordinarias.
INSTITUTO TECNOLOGICO DE IZTAPALAPA
MATERIA:
ECUACIONES DIFERENCIALES
PROFESOR:
RENÉ TOCOHUA ROJAS
ALUMNO:
SÁNCHEZ JIMÉNEZ AGUSTÍN
PROBLEMARIO UNIDAD UNO
GRUPO:
ISC-4AM
1. En las siguientes ecuaciones diferenciales determine: El orden, El grado, cuando sea posible, Si es lineal o no lo es, Tipo ,Variable dependiente, variable independiente
[pic 1][pic 2]
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[pic 47][pic 48]
[pic 49][pic 50]
2.2 Determine la ecuación diferencial de las siguientes expresiones:
[pic 51]
(1) (2)
Multiplicar por (-y) la ecu 2 restar a la ecu 1[pic 52][pic 53][pic 54][pic 55][pic 56][pic 57]
[pic 58][pic 59][pic 60][pic 61]
(1) (2)
(3) (4) (5) (6)[pic 62][pic 63][pic 64][pic 65][pic 66][pic 67]
[pic 68]
(1) (2) (3)
Multiplicar por (-4) la ecu (1) y sumar a la ecu (3)[pic 69][pic 70][pic 71]
[pic 72][pic 73][pic 74]
(1)
(2)[pic 75][pic 76]
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[pic 80]
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(1) (2)[pic 84][pic 85]
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INSTITUTO TECNOLOGICO DE IZTAPALAPA
MATERIA:
ECUACIONES DIFERENCIALES
PROFESOR:
RENÉ TOCOHUA ROJAS
ALUMNO:
SÁNCHEZ JIMÉNEZ AGUSTÍN
PROBLEMARIO UNIDAD TRES
GRUPO:
ISC-4AM
1) Resolver los siguientes problemas de aplicaciones a las ecuaciones diferenciales de primer orden.
1.1) Se sabe que cierto material radiactivo se desintegra a una razón proporcional a la cantidad presente. Si inicialmente hay 50 miligramos de material y después de dos horas se observa que el material ha perdido el 10% de su masa original, encuentre:
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