Introducción a los procesos infinitos y Fractales

Introducción a los procesos infinitos y Fractales

Sergio Plaza

Departamento de Matemática y C.C.

Universidad de Santiago de Chile

La idea fundamental de un proceso iterativo consiste en lo siguiente: dado uno o varios

valores iniciales, se introducen en una transformaciones (fórmulas), llamada

transformación iterativa, la cual podemos imaginar como una máquina que transforma un

valor inicial o varios valores iniciales en otro, llamado resultado, el cual pasa a ser

considerado como parte de nuevos valores iniciales o un nuevo valor inicial para el proceso

iterativo. Un ejemplo sencillo es dado por la sucesión de Fibonacci

1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , ...

la cual se obtiene considerando los valores iniciales x0 = 1, x1 = 1, y x x x n+ n n− = + 1 1 para

n ≥ 1, así los valores que se obtienen para los primeros elementos de la sucesión de

Fibonacci son:

x x x 2 1 0 = + = 1+ 1 = 2

x x x 3 2 1 = + = 2 + 1 = 3

x x x 4 3 2 = + = 3 + 2 = 5

x x x 5 4 3 = + = 5 + 3 = 8

!

La transformación puede venir expresada por fórmulas o por una serie de pasos a ejecutar

en cada etapa de la iteración. Para ilustrar esta última posibilidad veamos un ejemplo.

1. Consideremos un segmento de recta, el cual para comenzar lo consideramos de

longitud 1 (esto no constituye ninguna restricción.)

2. Reemplace el segmento inicial por cuatros segmentos de recta cada uno de longitud

3

1

de la longitud del segmento inicial, como muestra la figura

2

Obtenemos así una poligonal formada por cuatro segmentos de longitud

3

1 , por lo

tanto la longitud de la poligonal es

3

4 .

3. Aplicamos el proceso de reemplazar cada segmento de la poligonal obtenida en la etapa

anterior por cuatro segmentos cada uno de longitud

3

1 de la longitud del segmento

considerado, El procedimiento es ilustrado en la figura abajo.

3

en esta nueva poligonal cada segmento tiene longitud 9

1

3

1

3

1 ⋅ = , y existen 16

segmentos, luego la longitud de la poligonal obtenida es igual a

2

3

4

9

16



 



=  .

Si repetimos la etapa 3, reemplazando cada segmento de recta de la poligonal por

cuatro segmentos cada uno de longitud

3

1 de la longitud del segmento considerado,

obtenemos una poligonal con 64 segmentos, cada uno de longitud

27

1 , por lo tanto la

longitud de la poligonal obtenida en esta etapa del proceso es

3

3

4

27

64



 



=  .

Este proceso puede repetirse indefinidamente, obteniendo una ``curva’’ de longitud

infinita, y como puede observarse en cada etapa agregamos puntos esquinas (aquellos que

forman el vértice de dos segmentos). La curva final tendrá un punto esquina en cada punto,

esto no es fácil de imaginar, pero de hecho así ocurre. Esta curva es llamada curva de

Koch, en honor a su creador, Niel Helge von Koch (25/06/1870-11/03/1924).

La construcción de reemplazar cada segmento por otros cuatro, cada uno de longitud

3

1 de

la longitud del segmento considerando en la etapa anterior puede aplicarse, por ejemplo, a

los lados del triángulo equilátero de lado 1. Obteniendo, una sucesión de figuras como se

muestra abajo

Etapa 0

Longitud de la poligonal

igual a 3

Etapa 1

Longitud de la poligonal

igual a 12

3

3

4

3

= ⋅

 

 

Etapa 2

Longitud de la poligonal

igual a 2

3

3 4

9

48



 



= ⋅ 

4

Etapa 3

Longitud de la poligonal

igual a 3

3

3 4

27

192 



 



= ⋅ 

En la etapa 3, obtenemos una poligonal cerrada formada por 4 ⋅ 48 = 192 lados, cada uno de

longitud

27

1 , luego su longitud es

3

3

3 4

27

192



 



= ⋅  . De lo anterior vemos que en la etapa nésima,

se obtiene una poligonal con longitud igual a

n





⋅ 

3

3 4 . Por lo tanto la longitud de la

curva “límite” del proceso anterior crece indefinidamente. Notemos que la curva límite

acota una región de área finita en el plano. Esta curva “límite” es llamada copo de nieve de

Koch. Ella hiere nuestra intuición, pues es una curva de longitud “infinita” que delimita

una región de área finita en el plano.

Figuras Fractales

La curva de Koch, es un ejemplo de figuras geométricas llamadas fractales. Muchas

figuras fractales tienen la propiedad de ser autosimilares; esto quiere decir, que si tomamos

una parte de la figura, por muy pequeña que sea, al aplicarle una ampliación vemos

nuevamente la misma configuración. Por ejemplo la curva de Koch construida

anteriormente tiene esta propiedad.

Etapa final

5

Hay que notar que la autosimilaridad no constituye una propiedad que define si una figura

es fractal o no, por ejemplo, un cuadrado en el plano tiene esta propiedad y no cabe siquiera

pensar que sea una figura fractal, pues como nuestra intuición nos dice una figura fractal

tiene una alta irregularidad, más adelante veremos un intento de definición de lo que sería

una figura fractal.

Examinemos otros ejemplos, de los llamados fractales clásicos.

Conjunto de Cantor

Este conjunto es utilizado frecuentemente en matemática para construir ejemplos y su

nombre lo debe a su creador G. Cantor (03/03/1845-06/01/1918). Comenzamos la

construcción con un segmento de recta, digamos de longitud 1.

Dividimos el segmento inicial en 3 segmentos de igual longitud y eliminamos el segmento

central, obteniendo dos segmentos cada uno de longitud

3

1 .

Enseguida dividimos cada segmento resultante en la etapa anterior en 3 segmentos de igual

longitud y eliminamos los segmentos central, obteniendo 4 segmentos cada uno de longitud

9

1 .

Repetimos el proceso de división y eliminación anterior a cada segmento resultante en la

etapa anterior, y continuamos el proceso indefinidamente. El resultado final es un conjunto

C, llamado conjunto de Cantor, el cual es no vacío y contiene tantos puntos como la recta

real.

Conjunto de Cantor

6

Si en cada etapa de la construcción del conjunto de Cantor, medimos la longitud del

conjunto resultante, obtenemos lo siguiente:

Etapa Longitud

0 1

1

3

2

2

2

3

2

9

4



 



= 

3

3

3

2

27

8



 



= 

!

!

Intuitivamente el conjunto de Cantor debería tener longitud 0. Debido a su construcción el

conjunto de Cantor es autosimilar.

Notemos que el conjunto de Cantor es de “longitud” cero y tiene tantos puntos como el

segmento inicial. Esto no es fácil de aceptar ni intuitivo.

La construcción anterior del conjunto de Cantor es la clásica. Existen muchas

construcciones de conjuntos de Cantor, es decir, de división de un segmento en segmentos

(no necesariamente en 3) y en proporciones distintas (no necesariamente

3

1 ), y que nos

llevan a un conjunto de Cantor. Incluso se pueden construir conjuntos de Cantor con

“longitud” positiva. En la actualidad aún se trabaja y se publican trabajos profundos en

matemática que tienen relación con estos conjuntos.

Triángulo de Sierpinski

El nombre de esta figura fractal lo debe a su creador W. Sierpinski (14/03/1882-

21/10/1969).

La construcción clásica de esta figura fractal es como sigue: Consideramos una región

triangular, la cual para simplificar suponemos delimitada por el triángulo equilátero de lado

1. Dividimos la región en cuatro regiones de igual área, como muestra la figura

7

Esto se logra uniendo los puntos medios de los lados del triángulo original. Eliminamos el

triángulo central, obteniendo la figura

En cada triángulo restante T T T 1 2 3 , , , repetimos el proceso de división-eliminación,

obteniendo la figura

Repetimos el proceso de división-eliminación en cada triángulo que restó de la etapa

anterior, y continuamos con el proceso indefinidamente. La figura resultante es llamada

triángulo de Sierpinski.

Triángulo de Sierpinski

8

El triángulo de Sierpinski, al igual que la curva de Koch y el conjunto de Cantor, es

autosimilar.

Estas tres figuras, constituyen la trilogía de los más clásicos ejemplos de las figuras

llamadas fractales. ¿Porqué llamar fractal a la curva de Koch, el conjunto de Cantor y el

triángulo de Sierpinski?, y a otras figuras, por ejemplo las siguientes:

Para responder a esta pregunta necesitaríamos desarrollar una matemática más allá de los

objetivos básicos planteados en estas notas, por lo que nos limitaremos a dar una

justificación simple en este caso.

Examinemos un poco la definición de “volumen” de un segmento de recta y de un cuadrado

(no existe error en llamar volumen a lo que usualmente en IR llamamos longitud y en IR2 ,

área, es simplemente para usar la misma terminología, la cual se transforma de modo obvio

a figuras geométricas en IRn ). Para ponernos de acuerdo usamos la convención:

1− volumen = longitud , 2 − volumen = area , 3 − volumen = volumen usual .

1 - Volumen

Consideremos un segmento de recta, que por simplicidad, suponemos unitario (no es

ninguna restricción esta suposición). Para calcular el 1− volumen del segmento unitario

procedemos como sigue: cubrimos nuestro segmento por segmentos pequeños de longitud,

digamos ε , (ε > 0 un número).

Sea N(ε ) = número mínimo de intervalos de longitud ε necesario para cubrir el intervalo.

Tenemos entonces que N(ε ) ⋅ε 1 ≈ 1, donde el símbolo ≈ significa aproximadamente igual,

luego el 1-volumen del segmento de recta unitario es igual a 1.

De modo análogo, para calcular el 2 − volumen de un cuadrado, el cual para simplificar

suponemos unitario (es decir, de lado 1) cubrimos éste por cuadrados pequeños de lado

ε (ε > 0) . Sea N(ε ) el número mínimo de cuadrados de lado ε , necesarios para cubrir el

cuadrado, entonces N(ε ) ⋅ε 2 ≈ 1, luego el 2-volumen del cuadrado unitario es igual a 2.

9

Ahora consideremos la curva de Koch. Para calcular su 1− volumen , en cada paso de la

construcción calculamos el 1− volumen de la poligonal resultante en esa etapa.

Para n = 1, si tomamos ε = 1, tenemos N(ε ) = 1, para n = 2, si tomamos ε =

3

1 ,

tenemos N(ε ) = 4 , para n = 3, tomando 32

ε = 1 , tenemos N(ε ) = 42 , ..., para n = k

tomando 3k

ε = 1 , tenemos N(ε ) = 4k .

Y veremos entonces que el 1− volumen de la curva de Koch crece indefinidamente. Si en

cambio en vez de considerar la ecuación

k

N 



 



⋅ ≈ 

3

(ε ) ε 1 4 ,

consideramos la ecuación

N(ε ) ⋅ε s = 1

y buscamos el valor de s de modo que esto ocurre. En la etapa k, tenemos la ecuación

1

3

4 1 = 



 



 s

k

k .

De esto, tenemos que

4k = 3ks

de donde, aplicando logaritmo en base e, nos queda k ln 4 = ks ln(3) , y por lo tanto

obtenemos que

ln(3)

s = ln(4) .

Similarmente, para el conjunto de Cantor, planteamos la ecuación

2

1

3

k 1

k

s

⋅

 



 = ,

10

de donde  





 



=

ln(3)

s ln(2) .

Análogamente, para el triángulo de Sierpinski obtenemos que

ln(3)

s = ln(4) .

El número s obteniendo en cada caso anterior, es llamado la “capacidad” de la

correspondiente figura. Tenemos así

Figura Capacidad

Curva de Koch ln(3)

s = ln(4)

Conjunto de Cantor

ln(3)

s = ln(2)

Triángulo de

Sierpinski ln(3)

s = ln(4)

Observación: El denominador ln(3) en las capacidades anteriores tiene que ver con la

“forma” de la construcción, no es una constante universal para toda figura geométrica

fractal.

El hecho que para la curva de Koch se tenga que

ln(3)

s = ln(4) = 1.2618... se interpreta

diciendo que la curva de Koch es una curva que ocupa más espacio que una curva regular

pero no llega a llenar un área. Para el conjunto de Cantor, s = 0.63092... se interpreta

diciendo que aún cuando C no contiene ningún segmento de recta, ocupa más espacio que

puntos y no llena un segmento de recta. De modo análogo para el triángulo de Sierpinski,

este ocupa un espacio mayor que una curva regular pero no llena ninguna área.

11

En general, diremos que una figura tiene chance de ser fractal si su capacidad es un

número real no entero, esto no es completamente correcto, pero nos da una primera

aproximación a la idea de lo que sería una definición de fractal o de figura fractal.

Nota: una buena página para encontrar biografías de matemáticos es

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians

Lo que hemos presentado acerca de la geometría fractal no es si no una parte minimal de

esta hermosa teoría, la cual tuvo sus inicios en los trabajos del matemático ruso A. S.

Besicovitch y su escuela, aproximadamente en 1950, y que se popularizó con el trabajo,

esencialmente de divulgaciones, debido a Benoit Mandelbrot en el año 1977 con la

publicación de su libro “Fractals: form, chance, and dimension”.

Mandelbrot llevó la geometría fractal al computador, produciendo hermosas e intrigantes

figuras, sobre todo en el área de estudio de la “dinámica compleja”, graficando

computacionalmente los trabajos de los matemáticos franceses G. Julia y P. Fatou,

trabajos matemáticos profundos producidos entre 1918 y 1920.

Posteriormente, M. Barnsley, basado en el trabajo de tesis de doctoral de su estudiante A.

Jacquin (1989) y del matemático J.E. Hutckison (1981), desarrolló la teoría de los

“sistemas iterados de funciones” (denominados IFS del inglés iterated function systems) y

funda una industria llamada Iterated Function Systems, la cual se dedicó esencialmente a la

producción de algoritmos para “comprimir” imágenes. Uno de los productos que usa esta

tecnología es Encarta 99 y sucesivas versiones de este software. A continuación damos una

versión simplista de esta teoría, la cual puede ser fácilmente implementada en un

computador para producir bellas imágenes “fractales”.

Una referencia de una página donde encontrar fractales en Chile es:

http://www.geocities.com/CapeCanaveral/Cockpit/5889/

otra es

http://www.arrakis.es/~sysifus/

12

Sistemas de Funciones Iterados Lineales en el Plano

Lo que desarrollamos en esta sección corresponde a una parte “inocente” del asunto y su

implementación computacional. Inocente en el sentido que es sólo una introducción,

digamos somera a la teoría general, pero suficiente para que podamos experimentar con

ella.

Consideramos transformaciones del plano en si mismo de la forma

T(x, y) = (ax + by + e ,cx + dy + f )

donde a,b,c,d,e, f son números reales, y a,b,c y d satisfacen la condición ad − bc ≤ 1,

llamada condición de contractividad. Decimos en este caso que T una contracción afín.

Veamos como utilizando transformaciones afines contractivas podemos producir la curva

de Koch.

Consideremos el cuadrado unitario Q (cuadrado de lado 1), con un vértice en el origen,

como muestra la figura.

Aplicamos a Q la transformación afín contractiva



 



T x y =  x y

3

, 1

3

( , ) 1 1

y obtenemos el cuadrado Q1, de lado

3

1 como muestra la figura.

13

Enseguida aplicamos a este cuadrado una rotación en 60º seguido de una traslación a lo

largo del eje x, igual a

3

1 , es decir, aplicamos  





 



T x y = x + y + − x + y

6

3

6

, 1

3

1

6 6

( , ) 3 2 y

obtenemos la figura

Enseguida aplicamos la transformación T3 al cuadrado Q1 que hace lo siguiente: lo contrae

al cuadrado de lado

3

1 , Q1, luego lo rota en 120º y lo traslada a 



 



 0 ,

3

2 , es decir

 



 



T x y = x + y + − x + y

6

3

6

,

3

2

6

3

6

( , ) 3

y obtenemos la figura

Finalmente, aplicamos a Q la transformación 



 



=  +

3

,

3

2

3

( , ) 4

T x y x y y tenemos la figura

14

Combinando, tenemos: primero aplicamos T1, después T2 , después T3 y finalmente T4, a Q,

obteniendo la figura siguiente

A la figura resultante, aplicamos T1, T2, T3 y T4 (en cualquier orden), y así sucesivamente.

Garantizamos que el resultado final es la curva de Koch.

La pregunta es ¿cómo implementar el proceso anterior en un computador?. En principio

esta no sería fácil, pero se tiene el siguiente resultado.

“Sea {T ,T , ,Tn} 1 2 " una colección de transformaciones afines contractivas del plano. Sea

( , ) 0 0 x y un punto arbitrario. Denotemos σ (1),σ (2),",σ (n) elecciones arbitrarias y

aleatorias de los índices 1,#,n de las transformaciones afines. Entonces la sucesión de

puntos (x , y ) k k del plano obtenidas como sigue:

( , ) ( , ) 1 1 (1) 0 0 x y T x y σ = , ( , ) ( , ) 2 2 (2) 1 1 x y T x y σ = , ( , ) ( , ), , x3 y3 T (3) x2 y2 # σ =

después de despreciar sus primeros, digamos 100 elementos, “llena una región del plano”

que corresponde a la figura “fractal” deseada de generar. El sentido de figura fractal en

este caso corresponde al hecho que el borde (cuando ella tiene puntos interiores ) de la

figura o ella misma es una curva fractal.

Veamos cual sería el algoritmo computacional a implementar. Daremos el algoritmo en un

pseudo-lenguaje, para que pueda ser adaptado a cualquier lenguaje computacional que se

desee usar.

1. Ingrese los coeficientes i i i i i a ,b ,c ,d ,e , f 1 de las transformaciones afines

contractivasT i n i, = 1,2 ,#, .

2. Elija como punto inicial ( , ) 0 0 x y un punto arbitrario, por ejemplo (0,0)

15

3. Divida el intervalo [0,1] en n subintervalos I [ [ I [ [ I [ ] 1 1 2 1 2 n n 1 = 0 = = 1 − ,α , α ,α ,#, α , .

4. Elija una función random de su computador, normalmente llamada rnd.

5. Si rnd pertenece a I j , es decir, ≤ j−1 α rnd j <α , aplíquese la transformación Tj al

punto ( , ) 0 o x y obteniendo un nuevo punto ( , ) 1 1 x y , el cual se renombra por ( , ) 0 o x y

nuevamente, y vuelva al paso 4. Después de aplicar, digamos 100 veces esta rutina,

permita a su rutina pasar al paso 6 siguiente.

6. Grafique el punto ( , ) 0 o x y obtenido en 5, pintándolo de color j ( j dado por el paso 5).

(Normalmente los computadores, de acuerdo a la tarjeta gráfica que poseen aceptan

colores entre 0 y 16 (sistema VGA) o entre 0 y 255 (sistema super VGA) o entre 0 y

15999.

Repitiendo este algoritmo unas 1000 veces obtendrá una figura en su pantalla, la cual por lo

general resulta bonita.

Ejemplos de sistemas de transformaciones afines contractivas

1. ,

2

,

4

( , ) 1 



 



T x y =  x − y ,

2

1

2

,

4

1

4

( , ) 2 



 



T x y = x + y − ,

2

,

4

1

4

( , ) 3 



 



T x y =  x + y y



 



=  + +

2

1

2

,

4

3

4

( , ) 4

T x y x y . La figura generada por este sistema { } 1 2 3 4 T ,T ,T ,T es llamada

curva de Keissweiter.

16

2. ( , ) (0,0.5 ) 1 T x y = y , T x y x y x y 2 ( , ) = (0.02 − 0.28 ,0.15 + 0.2 + 1.5)

T x y x y x y 3 ( , ) = (0.02 + 0.28 ,0.15 + 0.2 + 1.5) , T x y x y 4 ( , ) = (0.75 ,0.5 + 4.6)

La figura generada por este sistema puede ser llamada araucaria, véala.

17

3. Para cada

2

0 < s < 1 , considere las transformaciones T x y sx y x sy 1 ( , ) = ( + 0.5 ,0.5 − ) ,

T x y sx y s x sy 2 ( , ) = ( − 0.5 + 1− ,− 0.5 − + 0.5) . Las transformaciones T1 y T2 dependen

del valor s elegido. Experimente con varios valores para s, por ejemplo s = 0, s = 0.3, … y

vea los resultados obtenidos. La figura abajo fue obtenida considerando s=0.3

3. Sea 0 < A < 1 y considere las transformaciones

T x y Ax Ay Ax Ay 1( , ) = ( + ,− + )

T x y Ax Ay A Ax Ay A 2( , ) = ( + + , − − )

Estas transformaciones dependen del valor A que elijamos. Experimente con varios

valores para A , por ejemplo, A = 0.25 , A = 0.3 , A = 0.5 , # , y vea los resultados

obtenidos. Para A=0.5 se obtiene la siguiente figura

18

4. Sean

T1(x, y) = (0.5 , 0.16y)

T x y x y x y 2 ( , ) = (0.2 − 0.26 + 0.4 , 0.23 + 0.22 + 0.05)

T x y x y x y 3 ( , ) = (−0.15 + 0.28 + 0.57 , 0.26 + 0.24 − 0.12)

T x y x y x y 4 ( , ) = (0.85 + 0.04 + 0.08 , − 0.04 + 0.85 + 0.18)

La figura obtenida a partir del sistema { }1 2 3 4 T ,T ,T ,T es conocida con el nombre de

helecho.

19

5. Las siguientes transformaciones afines,



 





+

− −

+

−

+

−

+

− −

+

+

+

= −

1

1

1 1

, 1

1

( 1)

1

1

1

( , ) 2 2 2 2 2 n2

y k

n

x n

n n

y k n

n

x

n

T x y n k

para k =1,2,…, n2+1, generan interesantes figuras, llamadas “familias de dragones”.

7. Triángulos de Sierpinski. Consideramos en este caso las transformaciones

T x y sx sy 1( , ) = ( , ) , T x y sx sy 2 ( , ) = ( + 0.5, ) , T x y sx sy 3 ( , ) = ( + 0.25, + 0.433)

para valores de s, 0 < s ≤ 0.5 , se obtienen variaciones de la construcción del triángulo

de Sierpinski, el cual corresponde a s = 0.5.

20

8. Conjunto de Cantor. Para generar el conjunto de Cantor consideramos las

transformaciones afines 



 



T x y =  x y

2

, 1

3

( , ) 1 1 y .

2

, 1

3

2

3

( , ) 1 2 



 



T x y =  x + y Al realizar

las iteraciones y graficar se ve muy poco, y esto es obvio, pues este conjunto esta

constituido sólo de puntos y no contiene intervalos.

...