Introducción a los procesos infinitos y Fractales
Ensayo11 de Noviembre de 2013
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Introducción a los procesos infinitos y Fractales
Sergio Plaza
Departamento de Matemática y C.C.
Universidad de Santiago de Chile
La idea fundamental de un proceso iterativo consiste en lo siguiente: dado uno o varios
valores iniciales, se introducen en una transformaciones (fórmulas), llamada
transformación iterativa, la cual podemos imaginar como una máquina que transforma un
valor inicial o varios valores iniciales en otro, llamado resultado, el cual pasa a ser
considerado como parte de nuevos valores iniciales o un nuevo valor inicial para el proceso
iterativo. Un ejemplo sencillo es dado por la sucesión de Fibonacci
1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , ...
la cual se obtiene considerando los valores iniciales x0 = 1, x1 = 1, y x x x n+ n n− = + 1 1 para
n ≥ 1, así los valores que se obtienen para los primeros elementos de la sucesión de
Fibonacci son:
x x x 2 1 0 = + = 1+ 1 = 2
x x x 3 2 1 = + = 2 + 1 = 3
x x x 4 3 2 = + = 3 + 2 = 5
x x x 5 4 3 = + = 5 + 3 = 8
!
La transformación puede venir expresada por fórmulas o por una serie de pasos a ejecutar
en cada etapa de la iteración. Para ilustrar esta última posibilidad veamos un ejemplo.
1. Consideremos un segmento de recta, el cual para comenzar lo consideramos de
longitud 1 (esto no constituye ninguna restricción.)
2. Reemplace el segmento inicial por cuatros segmentos de recta cada uno de longitud
3
1
de la longitud del segmento inicial, como muestra la figura
2
Obtenemos así una poligonal formada por cuatro segmentos de longitud
3
1 , por lo
tanto la longitud de la poligonal es
3
4 .
3. Aplicamos el proceso de reemplazar cada segmento de la poligonal obtenida en la etapa
anterior por cuatro segmentos cada uno de longitud
3
1 de la longitud del segmento
considerado, El procedimiento es ilustrado en la figura abajo.
3
en esta nueva poligonal cada segmento tiene longitud 9
1
3
1
3
1 ⋅ = , y existen 16
segmentos, luego la longitud de la poligonal obtenida es igual a
2
3
4
9
16
= .
Si repetimos la etapa 3, reemplazando cada segmento de recta de la poligonal por
cuatro segmentos cada uno de longitud
3
1 de la longitud del segmento considerado,
obtenemos una poligonal con 64 segmentos, cada uno de longitud
27
1 , por lo tanto la
longitud de la poligonal obtenida en esta etapa del proceso es
3
3
4
27
64
= .
Este proceso puede repetirse indefinidamente, obteniendo una ``curva’’ de longitud
infinita, y como puede observarse en cada etapa agregamos puntos esquinas (aquellos que
forman el vértice de dos segmentos). La curva final tendrá un punto esquina en cada punto,
esto no es fácil de imaginar, pero de hecho así ocurre. Esta curva es llamada curva de
Koch, en honor a su creador, Niel Helge von Koch (25/06/1870-11/03/1924).
La construcción de reemplazar cada segmento por otros cuatro, cada uno de longitud
3
1 de
la longitud del segmento considerando en la etapa anterior puede aplicarse, por ejemplo, a
los lados del triángulo equilátero de lado 1. Obteniendo, una sucesión de figuras como se
muestra abajo
Etapa 0
Longitud de la poligonal
igual a 3
Etapa 1
Longitud de la poligonal
igual a 12
3
3
4
3
= ⋅
Etapa 2
Longitud de la poligonal
igual a 2
3
3 4
9
48
= ⋅
4
Etapa 3
Longitud de la poligonal
igual a 3
3
3 4
27
192
= ⋅
En la etapa 3, obtenemos una poligonal cerrada formada por 4 ⋅ 48 = 192 lados, cada uno de
longitud
27
1 , luego su longitud es
3
3
3 4
27
192
= ⋅ . De lo anterior vemos que en la etapa nésima,
se obtiene una poligonal con longitud igual a
n
⋅
3
3 4 . Por lo tanto la longitud de la
curva “límite” del proceso anterior crece indefinidamente. Notemos que la curva límite
acota una región de área finita en el plano. Esta curva “límite” es llamada copo de nieve de
Koch. Ella hiere nuestra intuición, pues es una curva de longitud “infinita” que delimita
una región de área finita en el plano.
Figuras Fractales
La curva de Koch, es un ejemplo de figuras geométricas llamadas fractales. Muchas
figuras fractales tienen la propiedad de ser autosimilares; esto quiere decir, que si tomamos
una parte de la figura, por muy pequeña que sea, al aplicarle una ampliación vemos
nuevamente la misma configuración. Por ejemplo la curva de Koch construida
anteriormente tiene esta propiedad.
Etapa final
5
Hay que notar que la autosimilaridad no constituye una propiedad que define si una figura
es fractal o no, por ejemplo, un cuadrado en el plano tiene esta propiedad y no cabe siquiera
pensar que sea una figura fractal, pues como nuestra intuición nos dice una figura fractal
tiene una alta irregularidad, más adelante veremos un intento de definición de lo que sería
una figura fractal.
Examinemos otros ejemplos, de los llamados fractales clásicos.
Conjunto de Cantor
Este conjunto es utilizado frecuentemente en matemática para construir ejemplos y su
nombre lo debe a su creador G. Cantor (03/03/1845-06/01/1918). Comenzamos la
construcción con un segmento de recta, digamos de longitud 1.
Dividimos el segmento inicial en 3 segmentos de igual longitud y eliminamos el segmento
central, obteniendo dos segmentos cada uno de longitud
3
1 .
Enseguida dividimos cada segmento resultante en la etapa anterior en 3 segmentos de igual
longitud y eliminamos los segmentos central, obteniendo 4 segmentos cada uno de longitud
9
1 .
Repetimos el proceso de división y eliminación anterior a cada segmento resultante en la
etapa anterior, y continuamos el proceso indefinidamente. El resultado final es un conjunto
C, llamado conjunto de Cantor, el cual es no vacío y contiene tantos puntos como la recta
real.
Conjunto de Cantor
6
Si en cada etapa de la construcción del conjunto de Cantor, medimos la longitud del
conjunto resultante, obtenemos lo siguiente:
Etapa Longitud
0 1
1
3
2
2
2
3
2
9
4
=
3
3
3
2
27
8
=
!
!
Intuitivamente el conjunto de Cantor debería tener longitud 0. Debido a su construcción el
conjunto de Cantor es autosimilar.
Notemos que el conjunto de Cantor es de “longitud” cero y tiene tantos puntos como el
segmento inicial. Esto no es fácil de aceptar ni intuitivo.
La construcción anterior del conjunto de Cantor es la clásica. Existen muchas
construcciones de conjuntos de Cantor, es decir, de división de un segmento en segmentos
(no necesariamente en 3) y en proporciones distintas (no necesariamente
3
1 ), y que nos
llevan a un conjunto de Cantor. Incluso se pueden construir conjuntos de Cantor con
“longitud” positiva. En la actualidad aún se trabaja y se publican trabajos profundos en
matemática que tienen relación con estos conjuntos.
Triángulo de Sierpinski
El nombre de esta figura fractal lo debe a su creador W. Sierpinski (14/03/1882-
21/10/1969).
La construcción clásica de esta figura fractal es como sigue: Consideramos una región
triangular, la cual para simplificar suponemos delimitada por el triángulo equilátero de lado
1. Dividimos la región en cuatro regiones de igual área, como muestra la figura
7
Esto se logra uniendo los puntos medios de los lados del triángulo original. Eliminamos el
triángulo central, obteniendo la figura
En cada triángulo restante T T T 1 2 3 , , , repetimos el proceso de división-eliminación,
obteniendo la figura
Repetimos el proceso de división-eliminación en cada triángulo que restó de la etapa
anterior, y continuamos con el proceso indefinidamente. La figura resultante es llamada
triángulo de Sierpinski.
Triángulo de Sierpinski
8
El triángulo de Sierpinski, al igual que la curva de Koch y el conjunto de Cantor, es
autosimilar.
Estas tres figuras, constituyen la trilogía de los más clásicos ejemplos de las figuras
llamadas fractales. ¿Porqué llamar fractal
...