“LAS RAÍCES DEL CÁLCULO INFINITESIMAL”

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE MORELIA

MORELIA, MICHOACÁN

 “LAS RAÍCES DEL CÁLCULO INFINITESIMAL”

Pedro Miguel González Urbaneja

CÁLCULO INTEGRAL

Fernanda Marroquín

Profesor : Rogelio Torres Jasso

MAYO 2017

CAPITULO 1. INTRODUCCIÓN

1.1 Antecedentes históricos

1.1.1 Lo infinitesimal en el mundo griego

Las reflexiones provocadas por el cambio y el movimiento que aparecen en las primeras manifestaciones del pensamiento crítico, llevaron a concepciones de índole infinitesimal, así apareció el problema de la continuidad de los entes geométricos, la divisibilidad de los segmentos al infinitum o la existencia atomística de partes intrínsecamente indivisibles. Mediante el descubrimiento de la filosofía pitagórica se afirmó que las diagonales del pentágono se cortan según su “media y extrema razón” por lo cual la creencia de que los números podían medirlo todo es una simple ilusión, quedando eliminada de la Geometría la posibilidad de medir siempre con exactitud. Se había descubierto la magnitud  irracional: el alogon.

Los diálogos de Platón advierten la influencia del descubrimiento de los inconmensurables sobre la filosofía platónica de la ciencia. También en el Menón insiste sobre el problema de la duplicación del cuadrado. Sócrates y un esclavo mantienen una conversación, en la que las respuestas del esclavo, se resuelve el problema. Mientras seguían investigando y buscando el infinito, el gran filósofo, Anaxágoras de Clazomene, estableció una definición de lo llamado axioma de continuidad. En lo pequeño no existe lo extremadamente pequeño, sino algo cada vez más pequeño. De igual modo, en lo grande siempre hay algo más grande. Euxodo, Euclides y Arquímedes demostraron ciertas áreas por líneas curvas, que llamaron lúnulas. A Hipócrates (primer matemático profesional) se le debe la primera utilización de letras en las figuras geométricas.

Hipócrates concluye sobre las lúnulas que animarían a muchos a conseguir la cuadratura del círculo. Por ejemplo a Antifón de Atenas llamado el sofista y a Bryson de Heraclea. Arquímedes, atribuye a Demócrito el descubrimiento y la demostración del volumen de la pirámide. Demócrito considera estos solidos como si estuvieran formados por innumerables capas paralelas.  Demócrito del principio de Cavalieri deduciría el resultado del volumen de la pirámide como un tercio del prisma triangular de igual base y altura, al dividir el prisma en 3 pirámides triangulares de igual base y altura. Euxodo, resolvió la contradicción entre infinito y finito. Introduciendo el concepto de “tan pequeño como se quiera”, equivalente a nuestro proceso de “paso al límite”, desarrolla una definición, un axioma y un método.

Se dice que en la igualdad de razones, la primera de cuatro magnitudes tiene la misma razón con la segunda que la tercera con la cuarta, cuando tomando cualquier múltiplo de la primera y de la tercera y de la segunda y cuarta, el múltiplo de la primera es mayor, igual o menor que el de la segunda, según que el múltiplo de la tercera sea mayor, igual o menor que el de la cuarta. El axioma de continuidad: “Dos magnitudes tienen razón cuando se puede multiplicar una de ellas de modo que supere a la otra.” Euclides utiliza en axioma de continuidad para demostrar una proposición de los elementos, resultado que dio la posibilidad del método de exhaución, con el que demuestra los teoremas sobre el círculo y los teoremas sobre a pirámide y el cono postulados por Hipócrates y Demócrito. El método de exhaución le da al argumento matemático una fuerte lógica, pero tiene grandes dependencias.

Los griegos solo estudiaron el movimiento uniforme ya sea circular o lineal. La elaboración de la teoría de magnitudes, aún tiene influencia sobre la concepción que Aristóteles y su escuela tienen sobre el infinito. Aristóteles considera toda magnitud finita, pero como admite la infinita divisibilidad rechaza el atomismo geométrico. Un infinito no puede ser pensado como inteligible, pero se pude pensar en una magnitud creciente por encima de todo límite. Para Aristóteles, el infinito es como una ilusión del pensamiento que siempre puede traspasar potencialmente un límite prefijado, pero distingue la cuestión del infinitamente grande y el infinitamente pequeño. En manos de Arquímedes el método de exhaución, conjugado con su método mecánico de descubrimiento llamado método de la palanca, se convierte en un instrumento que ayuda a resolver cuadraturas, cubaturas y centros de gravedad, cosas que hoy podemos obtener por medio de algoritmos infinitesimales. Los resultados se enfocaron sobre lo siguiente: sobre la esfera y el cilindro, la medida del círculo, conoides y esteroides, los espirales, el equilibrio de los planos, la cuadratura de la parábola y sobre los cuerpos flotantes.

Todos estos resultados relacionados son demostrados por Arquímedes mediante el método de exhaución. Para esos tiempos pensaban que Arquímedes podía resolver todos los problemas porque contaba con un método que nadie conocía y era milagroso, Sin embargo el Cali Leo dijo que en la investigación siempre hay dos momentos donde la primera fase es la invención, intuitiva, no rigurosa y muchas hipótesis, que denominó la vía del descubrimiento, y la otra fase donde se impone el rigor y llamados vía de la demostración. El método es una obra singular de Arquímedes, porque en ella se decide a revelar, el proceso mental de la vía de investigación el método seguido en el tratamiento de cuestiones geométricas con ayuda de nociones y consideraciones mecánicas. El método de Arquímedes es un informe muy completo sobre un método de investigación y de argumentación aceptable en geometría, ilustrado con algunos ejemplos. Método seguido en el tratamiento de cuestiones geométricas con la ayuda de nociones y consideraciones mecánicas

Dentro de los resultados que Arquímedes obtiene con su Método, destacan:

1. Determinación por medio del método mecánico de la cuadratura del segmento parabólico.
2. Determinación por medio del método mecánico de la equivalencia de la esfera con el cuádruple del cono de base el círculo máximo de la esfera y de altura el radio.
3. Determinación por medio del método mecánico  de análogas equivalencias entre elipsoide de revolución, cono y cilindro.
4. Determinación por medio del método mecánico del centro de gravedad de un segmento de paraboloide de revolución.
5. Determinación por medio del método mecánico del centro de gravedad de un hemisferio.
6. Determinación por medio del método mecánico de la razón entre un segmento esférico y el cono de igual base y altura.

Después de conocer todo esto, no resulta increíble que muchos consideren a Arquímedes como el verdadero autor del Cálculo infinitesimal, él no lo creo, mas sin embargo inició los cimientos del esta disciplina científica. Con su capacidad inventiva y su flexibilidad investigadora, aventuraba los resultados que después demostraba, una inicial basada en la pura intuición de la leyes geométricas, una intermedia comprobación por el método mecánico de las hipótesis intuitivas, y una final, en la que el método de axhaución confirmaba la validez de lo augurado en la fase inventiva.

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