LAS SERIES DE FOURIER. SU ORIGEN Y APLICACIONES EN INGENIERÍA

LAS SERIES DE FOURIER. SU ORIGEN Y APLICACIONES EN INGENIERÍA.

INTRODUCCIÓN

Las series de Fourier es una herramienta matemática básica del análisis de Fourier que se utiliza para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dichas funciones en una suma infinita de funciones sinusoidales más simples, estas señales periódicas son múltiplos de la señal original Su nombre se debe al matemático francés Jean Baptiste Joseph Fourier.

En la ingeniería se ha implementado a lo de la historia procedimientos de análisis que han tratado de reducir la complejidad de los problemas matemáticos. La gran mayoría de estas técnicas se basan en la transformación matemática de las ecuaciones. Se puede decir que las trasformaciones nos ayudan a reducir la complejidad de las ecuaciones a través de un proceso univoco.

Una de estas transformaciones es la Transformada de Fourier, que se utiliza para obtener información frecuencial de una función, por ejemplo, cuando se escucha un sonido se sabe si este es grave o agudo. El cerebro interpreta el contenido de la información que llega y puede distinguir si está compuesto de frecuencia, principalmente alto, o viceversa, lo que lo constituye es principalmente bajo.

Esto es, en definitiva, lo que se persigue cuando se habla de la Transformada de Fourier, o de la Serie de Fourier. La idea de descomposición suele ser un proceso básico en el campo científico: la descomposición permite el análisis de atributos y la síntesis de objetos o fenómenos. Estas series de Fourier influyeron mucho en el desarrollo del análisis moderno.(Cañada Villar, 2016)

DESARROLLO

Origen de las Series de Fourier.

El desarrollo de las series de Fourier tiene una larga historia que involucra a un gran número de personas. La idea de emplear sumas trigonométricas, relacionadas armónicamente, para describir fenómenos periódicos data, cuando menos, del tiempo de los babilónicos, quienes utilizaron ideas de este tipo para eventos astronómicos.

A partir del desarrollo del cálculo en el siglo XVII, este se había convertido en convertido en la principal herramienta para estudiar y modelizar la Naturaleza. La idea básica era representar la evolución de un fenómeno natural por medio de una ecuación diferencial que relacionaba las distintas magnitudes relevantes en el fenómeno. (Duoandikoetxea, 2015)

Esta ecuación se obtendría a partir de análisis del fenómeno a nivel infinitesimal, utilizando un reducido numero de leyes que se habían ido descubriendo. Los fenómenos podían describirse en términos de una sola variable venían regidos por ecuaciones diferenciales ordinarias, que relacionaban la función incógnita con sus derivadas.

A lo largo del siglo XVII y mediados del siglo XVIII, uno de los problemas mas interesantes del que se ocuparon los matemáticos, y que se presenta con frecuencia en los problemas físicos relacionados con procesos oscilatorios, fue el que se conoce con el nombre de ¨Problema de la cuerda vibrante¨ ver Figura 1, que es el de encontrar una función f (x, t) que represente el desplazamiento de la cuerda.(Carrillo González, 2003)[pic 1][pic 2]

Se llegó a la ecuación que representa el movimiento de la cuerda vibrante. Esta ecuación fue estudiada por, Jean Le Rond d’Alembert (1717-1783), Euler (1707-1783), Daniel Bernoulli (1700-1782), Joseph Louis Lagrange (1736-1813) y Joseph Fourier (1768-1830).

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Donde ¨y¨ es el desplazamiento transversal en el instante ¨t¨ del punto ¨x¨ de una cuerda uniforme sujeta por sus extremos a dos puntos en el eje ¨x¨, distantes entre si . Este problema fue estudiado por d’Alembert y Euler (usando el método de propagación de las ondas) y en 1747 y 1748 respectivamente, encontraron la solución a la ecuación, donde f y g quedan determinadas por las condiciones iniciales[pic 4]

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Un poco más tarde, concretamente en 1.753, Bernoulli consideró una solución al problema de las cuerdas vibratorias en forma de serie trigonométrica desde un punto de vista físico, lo que lo llevó a creer que la vibración simultánea de la cuerda involucra múltiples frecuencias, y la amplitud depende de la vibración inicial de la forma, es decir, la forma en que la cuerda comienza a moverse. 

En donde encontró una solución en la que esta difería de la proporcionada por los anteriores y consistió básicamente en expresar la solución del problema como superposición (en general infinita) de ondas sencillas. Esta posibilidad descubierta por Bernoulli es lo que llamamos hoy el principio de superposición, y resulta que es muy importante en muchas ramas de la física matemática.(Raggio, 2015)

Bernoulli concibió la solución a través de sus conocimientos musicales. Por esta razón, se basa en el hecho de que el sonido emitido por una cuerda vibrante suele ser una superposición de armónicos, es decir, una superposición de funciones. Estas funciones representan tonos básicos y su armonía, y desde un punto de vista musical, corresponden a tonos puros.

Así, Bernoulli afirmó que cualquier sonido que produjese la vibración de la cuerda debe ser superposición de tonos puros. Desde el punto de vista matemático, ello significa que la solución debe poder representarse de la forma, donde los coeficientes  han de elegirse adecuadamente para que se satisfagan todas las relaciones.[pic 6]

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Sin embargo, no presento argumentos matemáticos para calcular los coeficientes, por tanto, Euler entiende que esta idea de Bernoulli lleva a un resultado aparentemente paradójico, de acuerdo con algunos conceptos matemáticos de la época, es decir, el hecho de que una función arbitraria pueda ser expresada en forma de serie trigonométrica.(Vallejo, 2014)

Una de las objeciones que presentaba Euler a la serie trigonométrica de Bernoulli, es la periodicidad e impar de las funciones senos. Cabe señalar que, para los matemáticos contemporáneos de Euler, las curvas se dividen en dos categorías: curvas continuas y curvas geométricas. Contrariamente a la terminología que se usa hoy en día, si la ordenada y la abscisa de la curva se pueden conectar mediante alguna fórmula (), se dice que la curva es continua.[pic 8]

Esta controversia duro varios años sin llegarse a ningún acuerdo, pues Bernoulli seguía firme en sus ideas, argumentando que hay “suficientes coeficientes” como para poderlos elegir, de tal manera que se cumpla. Por tanto, para Bernoulli, representaba la “solución general”. Por otra parte, Lagrange en 1759, presento un nuevo análisis del problema en el que defendía la solución encontrada por d’Alembert y Euler.

Posteriormente en 1807, las ideas de Bernoulli fueron tomadas en cuenta por el barón Jean Baptiste Joseph Fourier, matemático y físico francés, quien, entre otras actividades, acompañó a Napoleón en calidad de científico, en la campaña de éste a Egipto. Al regresar a Francia, y como profesor de Análisis de la Escuela Politécnica Fourier se interesó por la teoría de la conducción del calor en los cuerpos sólidos.(Arriaga, 2016)

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