APLICACIONES DE LAS SERIES DE FOURIER Y TRANSFORMADA DE FOURIER EN LA INGENIERÍA

[pic 1]

ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DE CHIMBORAZO

TECNOLOGÍAS DE LA INFORMACIÓN Y COMUNICACIÓN

CARRERA: TECNOLOGÍAS DE LA INFORMACIÓN Y COMUNICACIÓN

ASIGNATURA: CÁLCULO II

ENSAYO

TITULO:

APLICACIONES DE LAS SERIES DE FOURIER Y TRANSFORMADA DE FOURIER EN LA INGENIERÍA

NOMBRE: JOSUÉ DAMIAN

INGENIERO: CRISTIAN INCA

SEMESTRE: CUARTO A

Contenido

Desarrollo        4

Aplicaciones en la ingeniera        5

En la ingeniería eléctrica        5

En la Biofísica        8

En la ingeniería en sistemas        10

En la ingeniería en sistemas de Computación        11

Diversas ecuaciones científicas se expresan en términos de derivadas parciales, las cuales a veces se desarrollan descomponiendo la incógnita en series (sumas infinitas). Las series más interesantes son las series de potencias y, por supuesto, las series de Fourier. Teniendo en cuenta la periodicidad de estas sumas, las series de Fourier se aplican, por ejemplo, donde se producen procesos oscilatorios, como ocurre en series temporales de propiedades económicas, en electrónica, un ejemplo muy claro puede ser la aplicación de la teoría de señales, acústica u óptica. Los problemas teóricos comúnmente en relación con la aproximación de las series de Fourier han estimulado progresos fundamentales en diferentes campos de las matemáticas y todavía hoy se consideran problemas demasiados complicados.

La serie y la transformada de Fourier se una en diversas ramas de la ingeniería y además se usa en una herramienta muy útil en la teoría matemática abstracta. Las aplicaciones incluyen análisis de vibraciones, acústica, óptica, procesamiento de imágenes y señales, y compresión de datos. En ingeniería, en el caso de los sistemas de telecomunicaciones, al utilizar los componentes espectrales de una señal determinada, se puede mejorar el diseño del sistema para su señal portadora.

La principal idea de la serie de Fourier hace referencia a que toda una función periódica de período T se puede expresar como una adición en forma trigonométrica de senos y cosenos de este mismo periodo T. La cuestión aparece consecuentemente en la astronomía, además, Neugebauer (1952) pudo percibir que los Babilonios ocuparon una forma antigua de las series de Fourier en la predicción de eventos celestiales. La historia moderna de las series de Fourier comienza con D'Alembert (1747) y su acuerdo sobre las vibraciones de las cuerdas de un violín. Este desplazamiento de la cuerda del violín  en función del tiempo  y la posición  es la manera de resolver a una ecuación diferencial.[pic 2][pic 3][pic 4]

[pic 5]

dependiente a las condiciones iniciales  para  para . Al resolver este problema se puede dar cuenta que esto es la superposición de dos ondas viajando en dirección contraria a la que es la velocidad 1, como se lo manifiesta en la fórmula siguiente la cual la creó, D’Alembert:[pic 6][pic 7][pic 8]

[pic 9]

en esta ecuación  es una función impar de periodo dos la cual se elimina en los puntos Euler en el año 1748 planteó que esta solución podía ser indicada en una cadena de la forma[pic 10][pic 11]

[pic 12]

y todo esto da como resultado

[pic 13]

Estas mismas razones fueron aparecidas por D. Bernoulli y Lagrange. Su fórmula es:

[pic 14]

Desarrollo

Iniciamos con el tema principal de este ensayo el cual es “Aplicaciones de las series y transformadas de Fourier” donde es fundamental dar a conocer los principales conceptos acerca de estos dos tópicos (series y transformadas).

En la parte de las series de Fourier, las funciones periódicas que aparecen en los problemas prácticos suelen ser más complejas y se representan mejor mediante funciones periódicas fáciles. Se puede observar que casi cualquier función periódica  de periodo  que aparece en aplicaciones (por ejemplo, relacionadas con las vibraciones vibraciones) se puede representar mediante una serie triangular, a la que llamamos serie de Fourier de .[pic 15][pic 16][pic 17]

La serie de Fourier surge del deber práctico de representar una función periódica dada  en términos de funciones coseno y seno. Estas series son funciones trigonométricas cuyos coeficientes están determinados por  por unas fórmulas (fórmulas de Euler).[pic 18][pic 19]

[pic 20]

Por otro lado, en la transformada de Fourier se dice que dada la función  se llamará transformada de Fourier de una función  a una función compleja, la cual es[pic 21][pic 22]

[pic 23]

para todo  donde la expresión anterior tenga sentido, es decir, donde la integral impropia anterior sea convergente. [pic 24]

En esta convergencia es más complicado a comparación de la transformada de Laplace. Imaginemos que  y  son reales, en pocas palabras . En sí, si  es real, para asegurar la convergencia absoluta de la integral antes indicada se debe mencionar lo siguiente[pic 25][pic 26][pic 27][pic 28]

[pic 29]

Aplicaciones en la ingeniera

En la ingeniería eléctrica 

Diversas ecuaciones científicas se expresan en términos de derivadas parciales, las cuales a veces se resuelven descomponiendo la incógnita en series. Las series que más destacan son las series de potencias, y las series de Fourier. Teniendo en cuenta el carácter periódico de estas sumas, las series de Fourier se pueden aplicar, por ejemplo, en donde se ven los procesos oscilatorios, como en series temporales de carácter económico, en electrones y electricidad que se aplican por ejemplo en teoría de señales, en acústica o la óptica. Los problemas teóricos relacionados con la convergencia de las series de Fourier han impulsado avances fundamentales en diferentes campos de las matemáticas entre otros.

...