Mecanica. EJERCICIOS RESUELTOS

EJERCICIOS RESUELTOS

1. Dos partículas alfa, que consideraremos cargas puntuales fijas, están separadas 10-11 m. Calcula la fuerza electrostática con que se repelen y la gravitatoria con la que se atraen, y compáralas.

Datos: G = 6.67·10-11 SI; K = 9·109 SI; e = 1.60·10-19 C; mα = 6.68·10-27 kg.

Respuesta

Aplicando las leyes de Coulomb y de la gravitación universal, y teniendo en cuenta que la carga de una partícula α es dos veces la carga elemental:

[pic 1]

[pic 2]

Por tanto, la fuerza electrostática de repulsión es mucho más intensa que la gravitatoria de atracción:

[pic 3]

[pic 4]

1. Dos cargas A y B, separadas 3 cm, se atraen con una fuerza de 40 μN. ¿Cuál es la fuerza entre A y B si se separan 9 cm?

Respuesta

Aplicando la ley de Coulomb, la fuerza pedida es:

[pic 5]

La fuerza que nos indican es:

[pic 6]

De esta expresión se tiene que el producto [pic 7]

Sustituyendo en la primera ecuación se tiene:

[pic 8]

1. Determinar el valor del potencial eléctrico creado por una carga puntual q1=12 x 10-9 C en un punto ubicado a 10 cm. del mismo como indica la figura.

[pic 9]

Respuesta

         Para dar respuesta a lo solicitado debemos aplicar el cálculo del potencial en un punto debido a una carga puntual cuya expresión es

[pic 10] 

y por lo tanto el valor sería

   [pic 11]

el potencial es una magnitud escalar, por lo tanto tan sólo debe ser indicado su signo y su valor numérico.

Respuesta: El potencial en A vale + 1.080 V

1. Dos cargas puntuales q1=12 x 10-9 C y q2=-12 x 10 -9 C están separadas 10 cm. como muestra la figura. Calcular la diferencia de potencial entre los puntos ab, bc y ac.

[pic 12]

Respuesta

 Para poder hallar la diferencia de potencial entre puntos, debemos primero hallar el potencial en cada punto debido al sistema de cargas planteado

• Potencial en punto a: El potencial en a es debido a la acción de dos cargas puntuales q1 y q2 por lo tanto deberemos calcular cada uno de dichos potenciales y establecer la diferencia. como el potencial en un punto debido a una carga puntual se calcula como ya vimos en el ejercicio anterior como [pic 13]    entonces deberemos repetir este cálculo para cada una de las cargas.

En consecuencia [pic 14]   por lo que [pic 15]    como se observa el resultado corresponde a la diferencia entre el potencial positivo creado por la carga q1 y el potencial negativo creado por la carga q2. (potencial de q1= + 1.800 V y potencial de q2 = - 2.700 V de allí surgen la diferencia que es a favor del potencial positivo en -900 V).

• Potencial en punto b: Repetimos lo establecido para el punto a simplemente que ahora debemos calcular las distancias para el punto b por lo que la expresión nos queda [pic 16]    como se observa el resultado corresponde a la diferencia entre el potencial positivo creado por la carga q1 y el potencial negativo creado por la carga q2. (potencial de q1= + 2.700 V y potencial de q2 = - 771 V de allí surgen la diferencia que es a favor del potencial positivo en 1.929 V).
• Potencial en punto c:  En el punto c no es necesario realizar el cálculo numérico dado que como las distancias entre c y las cargas son iguales y las cargas son iguales y de signos contrarios, los potenciales que provocan son de igual valor y signo opuesto, por lo que el potencial en c vale 0 (Vc=0).
•  Cálculo de los potenciales solicitados

Vab= Vb-Va= 1.929 V - (-900 V) = + 2.829 V 

Vbc= Vc-Vb= 0 V - 1.929 V = - 1.929 V 

Vac=Vc-Va= 0 V - (-900 V) = + 900 V 

Respuesta: 

Vab =+ 2.829 V     Vbc=- 1.929 V      Vac=+ 900 V

1. Sobre una circunferencia tenemos un arco de 90º situado en el primer cuadrante en el que hay una distribución lineal de carga  λ, ¿qué campo creará en el centro de la circunferencia de radio a?.

[pic 17] 
[pic 18] 

[pic 19] 

1. Calcular la diferencia de potencial entre O y P de una distribución de cargas formada por q en (1,0) y -q en (0,1). Explicar el resultado obtenido.

[pic 20]

Respuesta
 [pic 21]

el resultado obtenido indica que los dos puntos O y P están sobre la línea equipotencial V=0. Esto no implica que el campo en O y en P sea nulo - que no lo es-. La situación se refleja en la siguiente figura, en la que se debe observar que las líneas equipotenciales siempre son perpendiculares a las líneas de campo eléctrico.

[pic 22] 

En casos de distribución continua de carga el potencial eléctrico se calcula mediante la expresión: [pic 23] 

1. Cuatro cargas puntuales están enla esquina de un cuadrado de lado a, como en la figura.

a) Determine la magnitud y dirección del campo eléctrico en la posición de la carga 2q.

b) Calcule el potencial eléctrico en el centro del cuadrado.

Respuesta

a) En la figura se ilustra la dirección de los campos debido a las cargas q, 3q y[pic 24]

4q, es decir, Eq, E3q y E4q, con

[pic 25]

[pic 26]

1. De nuevo el campo debido a un disco (lamina infinita).

Calculemos el campo eléctrico en un punto P que se encuentra a lo largo del eje de un disco circular de radio R a una distancia z de su centro y que tiene una carga uniforme por unidad de área (fig).

Respuesta[pic 27]

[pic 28] De la simetría de la figura y,

[pic 29]

Podemos hallar [pic 30][pic 31]integrando sobre la superficie, entre los límites, esto es ,[pic 32][pic 33]

Haciendo

[pic 34]

Resulta,[pic 35]

El resultado anterior es válido para todos los valores de z, a medida que el radio R crece sin límite es decir, R>>Z, el segundo término dentro del paréntesis de la ecuación tiende a cero, y queda

[pic 36]

Se puede observar que se obtiene el mismo resultado si hacemos [pic 37][pic 38] . Es decir que para puntos cercanos el disco se comporta como si fuera de extensión infinita.

1. Dos cargas puntuales -2Q y Q se hallan sobre el eje x.

a) Calcule el campo eléctrico en el punto P.

b) Encuentre la distancia de separación entre las cargas para la cual la componente  Y del campo vale cero.

Respuesta[pic 39]

El campo total en el punto P es:

[pic 40]

[pic 41]

[pic 42]

Donde hemos escrito el campo[pic 43][pic 44] , en términos sus componentes rectangulares

Reescribiendo:

[pic 45]

Ahora si existe algún r, para el cual la componente[pic 46][pic 47] del campo se anula:

[pic 48]

Por lo tanto [pic 49] pero [pic 50] 

[pic 51]

O sea: [pic 52] y entonces [pic 53]

[pic 54]

1.  Calcule el potencial eléctrico debido a la distribución de cargas mostrada en la figura. Evalúe el potencial en el punto (0, 2a).[pic 55]

Respuesta

[pic 56]

Con:

[pic 57]

Hemos tomado en cuenta que el potencial eléctrico es aditivo.

En particular en el punto (0, 2a): [pic 58]

[pic 59]

1. Una varilla de longitud L tiene una carga positiva por unidad de longitud y una carga total Q. determine el campo eléctrico y el potencial en el punto P a lo largo del eje de la varilla, a una distancia b de un extremo.

[pic 60]

Respuesta                      

            El cálculo del campo se obtiene de:

Tenemos que,        [pic 61]

[pic 62]

1. Alambre infinito .En la figura se muestra una sección de un alambre de carga infinita. Deseamos hallar el campo eléctrico a una distancia R del alambre.

Respuesta

Como se trata de una distribución lineal de carga utilizaremos la expresión

[pic 63], con[pic 64]

[pic 65]

De acuerdo con la figura, la Magnitud del campo eléctrico está dada por

[pic 66]

Con componentes:

[pic 67]y,

[pic 68]

Pero por simetría, para un elemento de carga como el indicado, existe un elemento opuesto de modo que las componentes del campo e n la dirección x se cancelan.

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