La Sucesión De Fibonacci

Los Conejos De Fibonacci.

El problema a resolver es el siguiente:

1) Supongamos que en un huerto cerrado tenemos una pareja de conejos [macho y hembra) de un mes de edad que aún no pueden reproducirse, pero que podrían hacerlo al segundo mes de edad.

2) Supongamos también que la gestación es de un mes y cada mes, a partir del segundo, cada pareja de conejos dará origen siempre a otra nueva pareja de conejos (también macho y hembra).

3) Si cada pareja de conejos se reproduce de la misma forma que la pareja inicial, y si suponemos que no se mueren, ¿cuántas parejas habrá en cada mes? ¿Y al año de nacimientos?

Analicemos la solución del problema:

Tenemos una pareja joven, sexualmente inmadura, que al mes siguiente es capaz de reproducirse. Pasa ella misma al siguiente mes y además procrea una nueva pareja; y cada pareja joven, se vuelve una pareja madura capaz de reproducirse.

Como la primera pareja de conejos tiene descendencia en el segundo mes, dobla el número y, en el tercer mes, se tienen dos parejas. De éstas, una pareja, la primera, también tiene descendencia en el mes siguiente, de manera que en el cuarto mes hay tres parejas. De ésas, dos parejas tienen descendencia en el mes siguiente (la segunda allí alcanza su madurez reproductiva), de modo que en el quinto mes han nacido dos parejas adicionales de conejos, y el número total de parejas de conejos llega a cinco. En dicho mes tres de estas cinco parejas tienen hijos y, en el sexto, el número de parejas llega a 8. Cinco de estas parejas producen otras cinco parejas, las cuales, junto con las 8 parejas ya existentes, hacen 13 parejas en el séptimo mes. Cinco de estas parejas no tienen hijos en ese me, mientras que las restantes ocho parejas tienen descendencia, de modo que en el octavo mes se tienen 21 parejas. Sumando a éstas las 13 parejas que nacen en el noveno mes, se obtiene un total de 34 parejas. Sumando a éstas las 21 parejas que nacen en el décimo mes, el total es de 55 parejas. Sumando a éstas las 34 parejas que nacen en el undécimo mes, se obtienen 89 parejas. Agregando a éstas las 55 parejas que nacen en el duodécimo mes, se tiene un total de 144 parejas. Agregando a éstas las 89 parejas que nacen en el décimo tercer mes, se llega a un total de 233 parejas. Finalmente, sumando a éstas 144 parejas que nacen en el último mes, se obtiene en total 377 parejas, al cabo de un año de nacimientos originados por la primera.

Esquemáticamente, sería algo así:

Ya os podéis imaginar cómo sigue el resto de la secuencia. Sino, aquí tenéis una tabla en la que quizá queda mejor explicado el proceso de reproducción de los conejos a lo largo del año:

Mes/Generación 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª TOTAL

1 1 1

2 1 1

3 1 1 2

4 1 2 3

5 1 3 1 5

6 1 4 3 8

7 1 5 6 1 13

8 1 6 10 4 21

9 1 7 15 10 1 34

10 1 8 21 20 5 55

11 1 9 28 35 15 1 89

12 1 10 36 56 35 6 144

Si continuara el proceso, veríamos que la sucesión continuaría por el mismo camino.

La Sucesión De Fibonacci

La historia dice que Fibonacci se fijó en esta secuencia mediante la reproducción de los conejos. La serie de números que hizo célebre es aquella donde cada término es igual a la suma de los dos términos anteriores, y así sucesivamente. Desde el punto de vista técnico, es realmente una secuencia y no una serie. Esta secuencia suele comenzar con el 0 y el 1, y para los siguientes términos se hace la suma de los dos anteriores. La sucesión de Fibonacci es la sucesión de números:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...

Cada número se calcula sumando los dos anteriores a él.

• El 2 se calcula sumando (1+1)

• Análogamente, el 3 es sólo (1+2),

• Y el 5 es (2+3),

• ¡y sigue!

Ejemplo: el siguiente número en la sucesión de arriba sería (21+34) = 55

¡Así de simple!

Aquí tienes una lista más larga:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, ...

Propiedades:

a) La sucesión empieza con dos unos.

b) Cada término de la sucesión a partir del tercero, se obtiene sumando los dos anteriores. Por ejemplo, el noveno término de la sucesión se construye sumando el séptimo y el octavo.

...