La Paradoja De Zenón, Sucesión De Fibonacci Y Juegos Matemáticos Varios

La paradoja de Zenón, Sucesión de

Fibonacci y juegos matemáticos varios.

Por: Coldscheme.

1.- Paradoja de Zenón de Elea.

Zenón de Elea fue un filósofo griego del cual no se sabe mucho de su vida ni de sus postulados filosóficos, además de sus famosas paradojas, las cuales han sido transmitidas y mencionadas por varios Filósofos, en especial el famoso filósofo griego Platón.

Una de sus famosas paradojas es la “Paradoja de Aquiles y la Tortuga” que fue elaborada por Zenón para demostrar la imposibilidad racional para el concepto de movimiento y tiempo.

La paradoja describe la hipotética situación de que una Tortuga decide desafiar a Aquiles, uno de los más grandes Atletas y luchadores de la épica de Homero, en una carrera, teniendo completa fe en que resultará victoriosa. Aquiles en un principio quede perplejo y se niego, tratando de recordarle a la tortuga con quien está hablando, la tortuga insiste en que quiere competir contra Aquiles y después de insistirle éste termina accediendo, pero para hacer que la carrera resulte más justa, decide darle a la tortuga una ventaja de 10 metros (aún así Aquiles sabía que vencería).

La carrera Comienza y Aquiles parte usando todo su potencial, para poder adelantar a la lenta Tortuga, deberá primero llegar hasta donde ésta se encuentra, hasta el momento nada difícil, pero, para su sorpresa, al llegar se da cuenta que la tortuga, avanzó unos pocos centímetros en el poco tiempo que le tomó llegar a ubicación anterior de la tortuga, perplejo, se decide a alcanzar a la Tortuga al llegar a la nueva ubicación en que se encuentra, para su segunda sorpresa la Tortuga aún así está unos pasos más adelante que Aquiles, aún cuando le tomara el más mínimo tiempo en alcanzarla. Esto se repite hasta que la tortuga efectivamente logra vencer a Aquiles, quien nunca logró pasarla.

Las razones por las cuales Zenon de Elea postula que esto ocurre, es porque a Aquiles le toma, aunque sea lo más mínimo, tiempo alcanzar a la tortuga, tiempo en el cual la tortuga habrá avanzado, aunque sea lo más mínimo, nunca estará en el mismo lugar de hace un instante.

Zenon también destacaba otra idea que se desprende de su paradoja con Aquiles y la tortuga, y con la cual él argumentaba que el movimiento era imposible, era que Aquiles, para alcanzar a la tortuga, primero deberá recorrer la mitad de la distancia que le queda, pero antes, la mitad de esa distancia, pero antes la mitad de esa distancia, es decir, deberá recorrer una distancia infinita, cosa que obviamente es absurda, no tiene sentido racional, por ende, el movimiento es sólo una ilusión de los sentidos.

Esta paradoja sembró la duda entre las personas por varios siglos, hasta la invención de la noción formal de series, sumas infinitas, donde se puso de manifiesto que sumas infinitas pueden entregar valores finitos (la suma de 1+ 1/2 +1/4 + 1/8 tiene solución finita, que es 2), cosa que resuelve la paradoja completamente.

Pero esta manera no es la correcta para resolver la paradoja, ya que esta revela una situación mucho más profunda. Hay una manera de resolver la paradoja sin llamar a las matemáticas, sino que cambiando el enfoque de observación por uno de sistemas.

Si uno emplea un enfoque de sistemas, a diferencia de Zenón de Elea, verá la distancia total entre los puntos de partida y final, verá que lo que Aquiles quiere lograr es ganar la carrera, no alcanzar a la Tortuga, eso es sólo una parte del proceso. Si Aquiles tiene como objetivo la meta, llegará hasta ella, pasando a la lenta tortuga, sin recorrer el camino por intervalos delimitados por la ubicación anterior de la tortuga, así claramente jamás le ganaría. Debe enfocarse en el objetivo real del sistema.

Respecto a la imposibilidad del movimiento, también se puede resolver con un enfoque de sistemas: Zenón de Elea comete el error de mirar la pista de carrera como algo hecho por partes, por mitades, y se da cuenta que se pueden teorizar infinitas partes, lo que significa infinitas distancias que recorrer, lo cual no tiene sentido y concluye que el movimiento no existe. Pero si se toma un enfoque de sistemas, la forma de ver la situación es que la pista de carrera total es un todo con una distancia finita y delimitada, la cual se puede dividir en distintas partes si así se requiere, pero que siempre esas partes sumadas, siempre deben dar como total el todo inicial, no pueden sumar más ni menos, ya que estas divisiones están hechas a partir de un todo finito y que ya se conoce, el todo no nace a partir de partes, el todo se puede dividir en partes que lo componen.

2.- Sucesión de Fibonacci y el Número Áureo.

La famosa sucesión de fibonacci es la sucesión que parte del número 0-1-2 arbitrariamente, y luego cada nuevo número de la serie corresponde a la suma de los dos anteriores, así tenemos por ejemplo:

0-1-2-3-5-8-13-21-34-55-89-……, y así sucesivamente.

A cada número que constituye a la sucesión se le denomina “un número de Fibonacci”.

La sucesión lleva su nombre en honor al matemático italiano Leonardo de Pisa, quién fue el primero en descubrir y plantear la sucesión en el siglo XIII, a quién también se le conocía como Fibonacci.

Fibonacci descubrió por primera vez su famosa sucesión al estudiar el crecimiento de la población de conejos, quería ver cómo la razón de crecimiento de estos variaba al aumentar el número. El estudió queriendo responder a la pregunta ¿cuántos conejos habrán en una granja en 12 meses, si parto con una pareja de conejos?, para responder el problema partió con algunos supuestos:

1. Los conejos alcanzan la madurez sexual a la edad de un mes.

2. En cuanto alcanzan la madurez sexual los conejos se aparean y siempre resulta preñada la hembra.

3. El periodo de gestación de los conejos es de un mes.

4. Los conejos no mueren.

5. La hembra siempre da a luz una pareja de conejos de sexos opuestos.

6. Los conejos tienen una moral y un instinto de variedad genética muy relajados y se aparean entre parientes.

Y el resultado fue que las parejas de conejos aumentaban según la posteriormente llamada sucesión de Fibonacci: 1 pareja, 2 parejas, 3 parejas, 5 parejas, 8 parejas, 13 parejas, 21 parejas, 34 parejas, 55parejas, 89 parejas, 144 parejas,...,etc

Por lo que la respuesta a su pregunta corresponde al 12avo término de la sucesión, 144.

Lo más intrigante y hermoso de la sucesión de Fibonacci es que al elegir ciertos parámetros y condiciones, esta sucesión suele ser bastante común en la naturaleza, presentándose en numerosos casos como el ordenamiento de ciertas estructuras de algunas plantas y en la parte estética de las cosas, tiene relación con la belleza y el número Áureo, el número con el cual se asocia las proporciones estéticas más bellas.

Algunos ejemplos de Fibonacci:

1) En la Disposición de las Hojas en las Plantas: Las hojas son la estructura que le permite a la planta recibir y almacenar la energía solar para producir su alimento (glucosa y el residuo oxígeno), Por lo cual no es de extrañar que las plantas desarrollen parámetros para posicionar a sus hojas alrededor del tallo de la forma más óptima posible. Pues lo increíble es que tal disposición se puede ver como una sucesión de Fibonacci. Se toma la hoja más baja y se le asigna el valor 0, Luego, contemos cuántas hojas hay en el tallo hasta encontrarnos directamente sobre la hoja "cero". Veremos que en la mayoría de las plantas este número pertenece la sucesión de Fibonacci. Además, si contamos cuántas vueltas dimos antes de obtener la superposición de las hojas, nuevamente se obtiene un número de la sucesión de Fibonacci.

2) La Distribución de las Semillas en una Flor de Girasol: La flor de girasol ordena sus semillas en espirales, unos que van a favor de la agujas del reloj y otras que no. Al contar las espirales uno puede darse cuenta que siempre el número de espirales son ambos número de Fibonacci, y es más, corresponde a dos número consecutivos, como por ejemplo, 21 y 34. En general muchas flores acomodan sus semillas siguiendo la sucesión de Fibonacci,y es sólo por mera casualidad, si disponen de sus semillas de tal forma, lograr “Economizar” espacio al colocar un mayor número de estas en un mismo espacio.

3) Las Espirales del Caracol Nautilus: Esta espiral es muy atractiva visualmente y se ha descubierto que se puede expresar en una sucesión de Fibonacci, al hacerse cuadrados que el largo de sus lados corresponde a un número de Fibonacci, al disponerse en “círculos” se comienza a construir la espiral a partir de semicírculos te tiene como radio número de fibonnaci, esa es la regla que cumple la espiral del caracol.

4) Los Brazos en Espiral de las Galaxias: También se acomodan según la sucesión de Fibonacci, al igual que el ejemplo del caracol. También Astrofísicos a través de estudios han descubierto que la Vía Láctea es inusualmente simétrica y que se puede expresar su simetría a través del número

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