Mecánica de los fluidos

CLASE 20 26-09 MECÁNICA DE LOS FLUIDOS

EJERCICIO

[pic 1]

Tenemos un estanque con aire (gas ideal)

• K=1,4 (constante adiabática)
• Raire= 287,9J/kg°K:

•  [pic 2]
• . Las temperaturas siempre son absolutas[pic 3]
•   esto es lo que garantiza que está en la condición de estancamiento[pic 4]

Se le conecta una tobera convergente-divergente. En la zona crítica* el diámetro es de 0,05 m. En la zona 2, nos dan la condición que . [pic 5]

Averiguar T2, P2,  y V2.[pic 6]

El conducto convergente-divergente hace que el gas se comporte adiabáticamente. Cualquier punto está regulado por las ecuaciones para comportamiento adiabático:

• [pic 7]
• [pic 8]
• [pic 9]
•   [pic 10]

Estas son ecuaciones de estado, salgo de un estado inicial (estancamiento), hago un viaje adiabático y lego a un estado final al que quiero llegar (2). En las ecuaciones se que lo que no tiene subíndice es a donde queremos llegar:

[pic 11]

[pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

Esto coincide con lo que estudiamos en la teoría: el gas se acelera permanentemente y se enfría permanentemente.

[pic 15]

[pic 16]

[pic 17]

Coincide que la presión tiene que ir disminuyendo.

[pic 18]

Como no tenemos , no podría calcular la densidad. Como el gas está consideramos como ideal, puedo aplicar la ecuación de estado: [pic 19]

[pic 20]

[pic 21]

[pic 22]

[pic 23]

[pic 24]

Este resultado tiene sentido, el aire en condiciones normales (Patm y 15°C) tiene una densidad 1,21 kg/m3. Al comprimir el aire, su densidad tiene que aumentar, además de que su temperatura es mayor a 15°. Ahora puedo calcular la densidad 2:

[pic 25]

[pic 26]

[pic 27]

Este resultado tiene sentido; son presiones absolutas. Está más frío el aire en la condición 2 y bajó la presión.

Para calcular la velocidad 2, no podemos usar la ecuación de caudal  que usábamos para líquidos, porque en gases aún cuando las áreas no cambian, las velocidades sí cambian Porque el flujo se va descomprimiendo. Pero sí podemos aplicar:[pic 28]

[pic 29]

[pic 30]

El punto 1 debería ser 1 algún punto donde haya velocidad, porque en el estancamiento es cero. Podemos hacerlo con el punto crítico.

[pic 31]

Para la velocidad crítica, como estoy en la garganta M=1, por lo tanto:

[pic 32]

[pic 33]

[pic 34]

Me falta la temperatura de la garganta:

[pic 35]

Había otra forma de calcular, usando de dato M2

[pic 36]

[pic 37]

[pic 38]

Este resultado está bien porque estamos en zona supersónica, al descomprimirse el gas, va a velocidad mucho más alta.

EJERCICIO

[pic 39]

Tenemos un estanque con aire (gas ideal)

• K=1,4 (constante adiabática)
• Raire= 287,9J/kg°K:

•  [pic 40]
• . Las temperaturas siempre son absolutas[pic 41]
•   esto es lo que garantiza que está en la condición de estancamiento[pic 42]
• Diámetro crítico: 0,05 m
• Diámetro 2: 0,07 m

Hallar V2, P2.

  [pic 43]

Calculo las áreas:

[pic 44]

[pic 45]

[pic 46]

[pic 47]

Calculo la relación de áreas:

[pic 48]

[pic 49]

Esto no es fácil de despejar el Mach. Habría que iterar, tantear el número de Mach, analizo con valores mayores que 1 porque tiene que salir en estado supersónico (entraste con subsónico). Si nosotros lo hicieramos en calculadora nos daría 2 valores: un Mach menor a 1 que sería incorrecto y otro valor mayor.

Mediante el tanteo:

Tenemos que analizar por lo menos con 3 decimales, porque el Mach es un número sensible. Asumimos que [pic 51]

[pic 52]

Para calcular T2, tenemos de dato T0:

[pic 53]

[pic 54]

[pic 55]

Reemplazando:

[pic 56]

[pic 57]

Ahora calculo la presión:

[pic 58]

[pic 59]

[pic 60]

Nosotros desarrollamos el ejercicio sin saber cómo es el ambiente que envuelve a la tobera, la zona donde la tobera descarga. Lo que pasa dentro de la tobera es dependiente del tipo de transformación. Analizando que es completamente adiabático, tengo que hacer la comprobación contra el ambiente que rodea la tobera. El ambiente que rodea la tobera tiene una presión atmosférica. Entre la presión atmosférica y P2 puede haber las siguientes relaciones:

• P2>Patm: Situación más común

Suponemos que la presión en el límite es más grande que la atmosférica. Ejemplo:  y . El gas sale porque P2>Patm. ¿Puede el aire tener un punto de presión mayor que el resto del aire? Sí, si en un punto aplicamos un “explosivo”, cuando este denota genera un gran aumento de presión en ese punto, que provoca un desbalance entre ese punto y el resto del aire. Por eso se propaga la onda. Si eso es viable, nos enfrentaremos al siguiente esquema: [pic 61][pic 62]

[pic 63]

Se va a formar detrás del área de salida un cono cuya superficie es el fluido gaseoso a alta densidad, si pudiéramos hacer una membrana de aire de mayor densidad porque en todo el interior la presión es P2, la que provino de la transformación, mientras que alrededor está Patm. Un punto en el interior de la membrana se encuentra en una condición de alta presión. Por eso la presión empuja al gas y lo comprime y le da un espesor por densidad. Hay un momento que ese punto salta a las afueras de la membrana, disminuyendo drásticamente su presión; ahí hay una irreversibilidad porque no hay forma de que vuelva dentro.

Todo el proceso irreversible se enfrenta a un ambiente distinto y pierde lo que resta de energía en el cono de alta densidad. Esto garantiza que 2 tiene mayor presión que la del ambiente. En esta condición, nada desacredita que se cumpla la condición adiabática en el interior de la tobera.

Hago los cálculos y obtener P2. Si P2 es mayor que Patm, todo lo que calculé tiene validez.

• P2=Patm

Cuando esto sucede, el cono se reduce y se pone justo sobre el área de salida. El cambio de transformación ocurre prácticamente de forma natural porque la presión antes y después son iguales. Esta condición ni P2>Patm le trae problemas al interior porque la transformación en el interior no se ve afectada por las mismas, hay adiabáticos sin ninguna duda.

• P2<Patm: Tobera fuera de diseño, mala condición que no queremos tener.

Si uno hace los cálculos considerando que la transformación es adiabática y se obtiene P2<Patm, el gas no puede salir porque no puede salir de menor presión a mayor. Esa situación ocurre en las cercanías de la salida, porque en realidad en el tanque tenes 600.000 Pa: si la presión en el interior es mayor a la atmósfera, el fluido sale. Si la presión teórica, suponiendo que todo es reversible, da menor a la atmosférica, esto indica que el interior no fue perfectamente reversible. Las ecuaciones no se cumplieron en alguna zona determinada.

...