Metodo de Cross.

CAPITULO 1

MÉTODO DE CROSS

     En 1932 el Prof. Hardy Cross desarrolló un método numérico para la resolución de estructuras hiperestáticas, el cual es conocido como “Método de Cross” o “Método de Distribución de Momentos”. Éste es un método numérico de aproximaciones sucesivas que evita tener que resolver de manera directa sistemas de ecuaciones simultáneas.

1. Conceptos fundamentales del método

El método de Cross está basado en el método de los Desplazamientos (o Rigideces), por lo que sus fundamentos son los mismos: rigidez angular y lineal, factor de transporte, momento transportado.

     Rigidez angular: es el momento que hay que aplicar en el extremo de un miembro estructural para producir una rotación unitaria en dicho extremo.

     Rigidez lineal: es el valor de los momentos que se desarrollan en los extremos de un miembro cuando se impone un desplazamiento lineal unitario entre dichos extremos.

     Factor de transporte: es la relación entre el momento que se desarrolla en el extremo de un miembro cuando se aplica un momento en el otro extremo.

     Momento transportado: es el momento que se desarrolla en un extremo como consecuencia de la aplicación de un momento en el otro extremo.

1. Factores de distribución

Considérese una estructura constituida por varios miembros que concurren a un nodo, el cual únicamente presenta desplazamiento angular (Fig. 5.1). Todos los miembros tienen una rigidez angular , dado que tienen las mismas condiciones de apoyo (empotramiento). Si el nodo está sometido a un momento M, se puede establecer la siguiente ecuación de equilibrio (ΣM = 0) a partir de las ecuaciones Pendiente-Deflexión:[pic 1]

     donde θ es la rotación del nodo y Mi = kiθ es el momento que experimenta el extremo del miembro i que concurre en el nodo.

[pic 3]

Figura 5. 1 : Estructura compuesta por un conjunto de elementos que concurren a un nodo, el cual unicamente presenta desplazamiento angular.

     El momento Mi que experimenta cada miembro se puede calcular como una fracción del momento total M aplicado:

Despejando Mi de la ec. 5.2 se obtiene: [pic 5]

El factor de distribución (FD) para un elemento i de un nodo de una estructura es la rigidez de un elemento (ki) dividida por la suma de las rigideces de todos los elementos que llegan a dicho nodo (Σki):

1. Vigas de múltiples claros

Procedimiento general

1. Identificar los grados de libertad desconocidos. El factor de distribución se calcula para todos los nodos donde se produce una rotación desconocida, exceptuando los extremos articulados en donde el momento es nulo (M = 0).
2. Se calculan las rigideces angulares en los elementos de la estructura. La rigidez angular es necesaria en el cálculo de los factores de distribución. La rigidez angular kθ es:

1. Para elementos con los extremos empotrados o continuos: kθ =  . [pic 7][pic 8]
2. Para elementos con un extremo articulado: kθ = [pic 9]
3. Para elementos con un extremo libre: kθ = 0

1. Se calculan los factores de distribución FDi (ec. 5.3) y de transporte FT:

1. Para elementos con los extremos empotrados o continuos: FT = 1
2. Para elementos con un extremo articulado: FT = 0

1. Se calculan los momentos de empotramiento de la estructura debido a las cargas q y a los desplazamientos relativos ∆.
2. Distribución y transporte de los momentos de desequilibrio

1. Se calcula el momento de desequilibrio en cada nodo como  ; donde Mi es el momento de cada elemento i que converge al nodo. Se distribuye el momento de desequilibrio de cada nodo en todos los elementos que concurren a dicho nodo según el factor de distribución correspondiente FDi, empleando la ecuación:[pic 10]

Midistribuido = −Mdes eq ∗ FDi

1. Se transporta al extremo opuesto según el factor de transporte FT, empleando la ecuación:

Mtransportado = Midistribuido ∗ FT

1. Se repiten los pasos 5.a y 5.b hasta que se observe que el momento transportado es pequeño y se ha alcanzado la aproximación deseada. Este proceso iterativo siempre debe terminar con el paso 5.a que corresponde al establecimiento del equilibrio en el nodo.

Algunas preguntas que debemos responder antes resolver un problema por este método es:

• ¿Qué precisión numérica se debe emplear en los factores de distribución y en los momentos?
• ¿Cuándo se ha alcanzado una aproximación satisfactoria?

1. Ejemplos

1. Ejemplo 1

     Analizar la viga de la figura 5.2 empleando el método de Cross. Considerar que la sección transversal de la viga es constante en toda su longitud (EI = 2.0 × 104ton m2).

[pic 11][pic 12]

Figura 5. 2 : Definición de geometría, cargas y condiciones de apoyo de una viga.

     PASO 1. Identificar los grados de libertad desconocidos. El factor de distribución se calcula para todos los nodos donde se produce una rotación desconocida, exceptuando los extremos articulados en donde el momento es nulo (M = 0).

Para cada rotación desconocida es necesario calcular el Factor de Distribución. En este ejemplo, se calculará el Factor de Distribución en los nodos B y C.

PASO 2. Se calculan las rigideces angulares en los elementos de la estructura.

[pic 13]

[pic 14]

[pic 15]

[pic 16]

[pic 17]

     PASO 3. Se calculan los factores de distribución FDi y de transporte FT.

Factor de Distribución.

Nodo B

kθBA = 16000, kθBC = 20000, ΣkθB = 36000

[pic 18]

Nodo C

kθCB = 20000, kθCD = 0, ΣkθB = 20000

[pic 19]

Factor de transporte.

[pic 20]

     PASO 4. Se calculan los momentos de empotramiento de la estructura debido a las cargas q y a los desplazamientos relativos ∆.

Momentos de empotramiento debido a las cargas q

[pic 21]

[pic 22]

[pic 23]

Momentos de empotramiento debido a los desplazamientos relativos ∆.

[pic 24]

[pic 25]

[pic 26]

[pic 27]

     PASO 5. Distribución y transporte de los momentos de desequilibrio

El método de Cross es un método iterativo, el cual se aproxima a la solución exacta en cada paso. Para ejemplificar este proceso de aproximación, a continuación se presenta una tabla en la que se muestra el resultado de aplicar este método después de una, dos, tres y cuatro iteraciones; en la última fila se presenta la solución exacta obtenida de aplicar el método de rigideces.

En esta tabla se observa cómo en cada iteración la solución se va aproximando a la solución exacta.

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