Métodos Numéricos

Métodos Numéricos

"Aproximaciones y Errores"

Significados y ejemplos

Cifras significativas

También es conocido como dígitos significativos y se ha desarrollado para designar formalmente la confiabilidad de un valor numérico. Él numero de cifras significativas es él numero de dígitos mas un dígito estimado que se pueda usar con confianza. Por ejemplo:

0.000 018 45

0.000 184 5

0.001 845

Los ceros no son siempre cifras significativas ya que pueden usarse solo para ubicar el punto decimal. Los números antes mencionados tienen cuatro cifras significativas. Cuando se incluyen ceros en números muy grandes, no se ve claro cuantos ceros son significativos si es que los hay.

El concepto de cifras significativas tiene dos implicaciones importantes en el estudio de los métodos numéricos.

Los métodos numéricos obtienen resultados aproximados, se deben desarrollar criterios para especificar que tan precisos son los resultados obtenidos. Una manera de hacerlo es en términos de cifras significativas.

A la omisión del resto de cifras significativas se le conoce como error de redondeo.

Exactitud y precisión

La precisión se refiere 1) al numero de cifras significativas que representan una cantidad 2) la extensión en las lecturas repetidas de un instrumento que mide alguna propiedad física.

Por ejemplo:

Cuando se hacen algunos disparos en un lugar de tiro al blanco la precisión se refiere a la magnitud del esparcimiento de las balas.

La exactitud se refiere a la aproximación de un numero o de una medida al valor verdadero que se supone representa.

La inexactitud (conocida como sesgo) se define como un alejamiento sistemático de la verdad.

Definiciones de error

Los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones para representar las operaciones y cantidades matemáticas. Estos incluyen errores de truncamiento, que resultan de representar aproximadamente un procedimiento matemático exacto, y los errores de redondeo, que resultan de representar aproximadamente números exactos. Para los dos tipos de errores, la relación entre el resultado exacto o verdadero y el aproximado esta dada por:

Valor verdadero = Valor aproximado + Error

Error numérico es igual a la diferencia entre el valor verdadero y el valor aproximado, esto es:

Eu = Valor verdadero – Valor aproximado

Ejemplo:

Supóngase que se tiene que medir la longitud de un puente y de un remache, obteniéndose 9 999 y 9 cm, respectivamente. Si los valores verdaderos son 10 000 y 10 cm, calcúlese: a) el error y B) el error relativo porcentual de cada caso:

Solución: a) el error en la medición del puente es de:

Eu = 10 000 – 9 999 = 1 cm

Y para el remache es:

Eu = 10 – 9 = 1 cm

b) El error relativo porcentual para el puente es de:

Eu = 1/ 10 000 100% = 0.01 %

Y para el remache es de:

Eu = 1 / 10 100% = 10%

Por

...