Modulo De Katz Y Kan

TEMA 2

MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN

2.1 Características de las medidas de posición central.

2.2 Medidas de centralización: media aritmética, mediana y moda. Propiedades. Relación entre media, mediana y moda.

2.3 Cuantiles: cuartiles, deciles y percentiles.

2.4 Medias geométrica, armónica.

INTRODUCCIÓN

En este tema y los dos siguientes vamos a obtener unos números que cuantifiquen las propiedades fundamentales de la distribución de frecuencias. Estos números podemos clasificarlos en:

 Medidas de localización (posición). Son coeficientes de tipo promedio que tratan de representar una determinada distribución, pueden ser de dos tipos:

1.-CENTRALES:

-Medias:

 Aritmética

 Geométrica

 Armónica

-Medianas

-Moda

2.-NO CENTRALES:

-Cuantiles:

 Cuartiles

 Deciles

 Centiles o percentiles

 Medidas de dispersión.

Son complementarias de las de posición en el sentido que señalan la dispersión en conjunto de todos los datos de la distribución respecto de la medida o medidas de localización adoptadas.

-Medidas de dispersión absoluta: Recorrido

-Medidas de dispersión relativa: Recorrido intercuartílico, desviación media, varianza, desviación típica.

-Coeficiente de variación PEARSON.

-Diagrama de caja.

 Medidas de forma

Estudian la asimetría- simetría y deformación (apuntamiento, aplastamiento) respecto de una distribución modelo denominada distribución NORMAL

Coeficiente de asimetría y coeficiente de Curtosis.

 Medidas de concentración

Estudian la concentración de una distribución frente a la uniformidad.

INDICE DE GINI, CURVA DE LORENZ.

2.1 CARACTERÍSTICAS DE LAS MEDIDAS DE POSICIÓN CENTRAL.

Las medidas de posición son promedios y pueden ser de tendencia central o no, las más importantes son las que hemos indicado en la introducción, esto es: media, mediana, moda y los cuantiles.

2.2 MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN: MEDIA ARITMÉTICA, MEDIANA Y MODA. PROPIEDADES. RELACIÓN ENTRE MEDIA, MEDIANA Y MODA.

MEDIA ARITMÉTICA: Es la suma de todos los valores de la variable dividida entre el número total de elementos.

Si el valor xi de la variable X se repite ni veces, aparece en la expresión de la media aritmética de la forma:

, que será la expresión que consideraremos definitiva de la media aritmética.

Como otra posible expresión será

Ejemplo: Si tenemos la siguiente distribución, se pide hallar la media aritmética, de los siguientes datos expresados en kg.

xi ni xi ni

54 2 108

59 3 177

63 4 252

64 1 64

10 601

kg

NOTA: A la media aritmética se la denomina también CENTRO DE GRAVEDAD de la distribución.

Si la variable esta agrupada en intervalos (variable continua), se asignan las frecuencias a las marcas de clase y se procede como si la variable fuera discreta. En el futuro consideraremos indistintamente  ci = xi

Ejemplo:

[Li-1,Li)

xi = ci ni ci ni

[30 , 40) 35 3 105

[40 , 50) 45 2 90

[50 , 60) 55 5 275

10 470

MEDIA ARITMÉTICA PONDERADA: En ocasiones no todos los valores de la variable tienen el mismo peso. Esta importancia que asignamos a cada variable, es independiente de la frecuencia absoluta que tenga. Será como un aumento del valor de esa variable, en tantas veces como consideremos su peso.

Es la media aritmética que se utiliza cuando a cada valor de la variable (xi) se le otorga una ponderación o peso distinto de la frecuencia o repetición. Para poder calcularla se tendrá que tener en cuenta las ponderaciones de cada uno de los valores que tenga la variable

Se la suele representar como:

Siendo wi la ponderación de la variable xi y la suma de todas las ponderaciones.

Ejemplo: Un estudiante realiza 3 exámenes de complejidad creciente, obteniendo los siguientes resultados: 5, 8 y 7.

El primer examen lo hizo en ½ hora, el segundo en 1 hora y el tercero en hora y media, por lo que se les atribuye una ponderación de 1, 2 y 3 respectivamente. Se pide calcular la nota media.

Xi ni Wi xi wi

5 1 1 5

8 1 2 16

7 1 3 21

3 N = 6 42

Si calculamos la media aritmética tendremos que :

.

Ahora bien, si calculamos la media ponderada, obtendremos:

Propiedades de la media aritmética

PROPIEDAD 1: La suma de las desviaciones de los valores de la variable con respecto a la media aritmética es 0.

Veamos que resulta al operar la siguiente expresión: . Tendremos que

PROPIEDAD 2: La media aritmética de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable con respecto a una constante cualquiera se hace mínima cuando dicha constante coincide con la media aritmética (Teorema de KÖRING).

Para (media aritmética) el valor de las desviaciones será mínima.

PROPIEDAD 3: Si a todos los valores de la variable se le suma una misma cantidad, la media aritmética queda aumentada en dicha cantidad:

Supongamos que tenemos una variable x de la que conocemos su media.

Supongamos ahora que tenemos otra variable, que se calcula a partir de la anterior de la siguiente forma: . Si ahora queremos calcular la media de esta segunda variable:

como si sustituimos tendremos que es lo que pretendíamos demostrar.

PROPIEDAD 4: Si todos los valores de la variable se multiplican por una misma constante la media aritmética queda multiplicada por dicha constante . La demostración se realizaría de manera análoga a la anterior.

NOTA: De las dos propiedades anteriores se deduce que la resta y la división se realizarían de igual manera para la propiedad 3 y 4 respectivamente.

Corolario: Si una variable es transformación lineal de otra variable (suma de un número y multiplicación por otro), la media aritmética de la 1ª variable sigue la misma transformación lineal con respecto a la media aritmética de la 2ª variable, siendo yi = a xi + b , donde a y b son números reales:

Podemos utilizar esta metodología para calcular la media de la siguiente distribución.

Xi ni

38432 4

38432 8

38436 4

38438 3

38440 8

Si efectuamos un cambio de variable tomando como nueva variable el valor más centrado, tendremos::

xi ni yi yi ni

38432 4 (38432 - 38436)/2 = -2 -8

38432 8 (38432 - 38436)/2 = -1 -8

38436 4 (38436 - 38436)/2 = 0 0

38438 3 (38438 - 38436)/2 = 1 3

38440 8 (38440 - 38436)/2 = 2 16

n = 27 3

Como , entonces

PROPIEADAD 5: - Si en un conjunto de valores se pueden obtener 2 ó más subconjuntos disjuntos, la media aritmética del conjunto se relaciona con la media aritmética de cada uno de los subconjuntos disjuntos de la siguiente forma:

Siendo  la media de cada subconjunto y Ni el núm. de elementos de cada subconjunto.

Veamos la demostración de la propiedad: Sea la distribución x1, x2, x3, x4, …… xn, xn+1, xn+2 ……….xk, observando que habrían como dos subconjuntos de n y k-n elementos cada uno. Si consideramos la media aritmética de la distribución: y calculamos los sumatorios para los dos subconjuntos, la expresión de la media quedaría:

Si multiplicamos numerador y denominador de cada una de las fracciones por una misma cantidad el resultado no varía, por tanto, multiplicaremos la primera por N1 que es su número de elementos del primer subconjunto y la segunda por N2 que es el correspondiente, la expresión quedará:

como y son la media del primer y segundo subconjunto, la expresión la podemos expresar de la siguiente manera: que es lo que queríamos demostrar ya que si las frecuencias se multiplican o dividen por un mismo número, la media no varía

IMPORTANTE: Hay que tener en cuenta que la media aritmética es muy sensible a los valores extremos, es decir, a valores numéricos muy diferentes, (tanto por lo grandes, o pequeños que sean), al resto de la muestra. Esto puede resultar un problema. Hay formas de resolverlo, que veremos más adelante.

Media geométrica y armónica.

a) Media geométrica: Responde a la siguiente expresión

y se la puede define, como la raíz n-ésima del producto de todos los valores de la variable.

También la podemos representar como:

NOTA: En muchas ocasiones, los valores de la distribución nos impiden poder efectuar los cálculos al exceder la capacidad de la calculadora.

Utilizaremos las propiedades de los logaritmos:

 lg (a.b) = lg a + lg b

 lg an = n lg a

sabiendo que lo podemos expresar en notación compacta:

, por lo que podemos

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