Métodos numéricos aplicados a la Ingeniería Química

MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA

Métodos numéricos aplicados a la Ingeniería Química

Kevin Torres Valencia

Los métodos de Runge-Kutta (RK) son una serie de métodos numéricos útiles para resolver ecuaciones diferenciales; logran la exactitud del procedimiento de una serie de Taylor, sin requerir el cálculo de derivadas superiores. Es posible tener varios tipos de métodos de Runge-Kutta.

En el ejercicio planteado sobre métodos RK,  se desea determinar el volumen (en Litros) para un reactor tubular para obtener conversiones de 60, 70 y 80%, dada la ecuación:

          [pic 1]

                                              [1]

Sustituyendo los términos dados en la ecuación [1]:                          

                         [pic 2]                                     [2]

Las condiciones iniciales para la ecuación diferencial planteada son V (0) = 0, es decir, para una conversión igual a cero, el volumen en el reactor es cero. Los datos de entrada del código, son en esencia, los mismos datos trabajados en el desarrollo de los métodos de Euler y Heun. Inicialmente se da solución al ejercicio mediante el método RK de segundo orden, utilizando el método de Heun de un solo corrector y un tamaño de paso de 0.05. Los resultados obtenidos tras la ejecución del código se representaron de manera gráfica, obteniendo:

[pic 3]

Figura 1: Solución mediante RK de segundo orden, paso de 0.05.

Al observar la figura 1, se puede notar que los resultados obtenidos tras la aplicación del método RK de segundo orden presentan buena exactitud respecto a la solución analítica de la ecuación diferencial. En este caso, el volumen en el reactor, para valores de conversión de 0.6, 0.7 y 0.8 es de 301.21, 469.65 y 810.20 L respectivamente; el error relativo de los resultados es de 0.403, 0.632 y 1.27 %. Sin embargo, análogo a los métodos Euler y Heun, al disminuir el tamaño de paso, se logra aumentar la exactitud de los resultados. Así pues, al utilizar un tamaño de paso de 0.02 y graficar los resultados, se obtiene:

[pic 4]

Figura 2: Solución mediante RK de segundo orden, paso de 0.02.

De acuerdo con los resultados presentados en la figura 2, el volumen en el reactor, para valores de conversión de 0.6, 0.7 y 0.8 es de 300.195, 467.14 y 801.65 L, así mismo, el error relativo de los resultados es de 0.065, 0.0942 y 0.206 %; al igual que en los métodos trabajados anteriormente, el error de los resultados logró disminuirse al utilizar un tamaño de paso más bajo.

RUNGE-KUTTA DE TERCER ORDEN

Con el fin de disminuir aún más el error generado en los resultados, y por ende aumentar su exactitud, se dio solución al problema planteado utilizando el método RK de tercer orden; para analizar la influencia del tamaño de paso en la exactitud de los resultados, se utilizó inicialmente un tamaño de paso de 0.05. Los resultados obtenidos se representaron de manera gráfica, obteniendo:

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