PROBLEMAS APLICADOS A LA INGENIERIA QUIMICA

PROBLEMAS DE APLICACIÓN

Profesor Francisco Muñoz Paba M.Sc

EJEMPLO Nº 5  Un tanque contiene 20 m3 de agua. Se alimenta a éste tanque una corriente de salmuera que contiene 2kg/m3 de sal con un caudal de 3 m3/h. Una corriente líquida abandona el tanque con un caudal de 2 m3/h. Si el tanque está bien agitado. ¿Cuál es la concentración de sal en el tanque, cuando éste contiene 30 m3 de salmuera?

      3 m3/h[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8][pic 9]

      2 kg/m3                                                      2 m3/h

                                                                          x kg/m3

Solución:

Balance de acumulación de salmuera.

          , integrando [pic 10]

  🡪 V=20 + t [pic 11]

Balance de masa para la sal:

 , derivando lado izquierdo:[pic 12]

[pic 13]

                                               x + (20 + t) = 6 – 2x   🡪    [pic 14][pic 15]

                                                  Condición de valor inicial  x(0)=0

Volumen de la salmuera en el tanque:   V= 20 +t  🡪 t= 30 – 20 = 10 horas.

Tiempo para alcanzar los 30 m3 en el tanque.

Resolución analítica de la ecuación diferencial por Octave:

>> syms x(t);

>> f=diff(x,t) ==(6 - 3*x)/(20+t);

>> x=dsolve(f,x(0)==0)

x = (sym)

                      16000

  x(t) = 2 - --------------------------

              3       2

             t  + 60*t  + 1200*t + 8000

Remplazando en la ecuación diferencial t=10horas.

>> t=10;

>> xt= 2 - 16000/(t^3+60*t^2+1200*t+8000)

     xt =  1.4074 kg/m3 

Resolución numérica de la ecuación por Euler modificado.

EJEMPLO Nº 6   Resolver   x’ = (6 – 3*x)/(20+t)

                         x(0)= 0   h=2.5

clear clc clf

% Este programa resuelve una E.D.O por Euler Modificado

% x'' =(6-3x)/(20+t)  para x(0)= 0 Tamaño de paso h=2.5

tspan=[0 25];N=10;

%f=inline('(6-3*x)/(20+t)','t','x');

h=(tspan(2)-tspan(1))/N;

t=tspan(1)+[0:N]'*h;

f=inline('(6-3*x)/(20+t)','t','x');

x0=0;

x(:,1)=x0(:)';

disp(' f1 f2 ')

for k=1:5

f1=f(t(k),x(:,k));f1=f1(:)';

f2=f(t(k)+h,x(:,k)+h*f1);f2=f2(:)';

x(:,k+1) =x(:,k)+ h*(f1+f2)/2;

fprintf(' %10.5f %10.5f\n',f1,f2)

end

disp(' t    y ')

disp([t x(:)])

plot(t,x(:),'-o')

title('Solución de y''=(6-3x)/(20+t) por el Método de Euler Modificado')

xlabel('t');ylabel('x');

La salida del programa es                                                                                                   

      f1          f2

    0.30000    0.16667

    0.18889    0.11333

    0.12467    0.07933

    0.08552    0.05701

    0.06057    0.04194

       t          y

    0.00000    0.00000

    2.50000    0.58333

    5.00000    0.96111

    7.50000    1.21611

   10.00000    1.39427

   12.50000    1.52240

   15.00000    1.61687

   17.50000    1.68803

   20.00000    1.74262

   22.50000    1.78520

   25.00000    1.81890

Si se requiere mayor precisión se disminuye el tamaño de paso, h

EJEMPLO Nº 7   Resolver  la E.D.O    y’ = - 2t  - y

                                             y(0)= - 1     H=0.1

El siguiente es un programa en Octave, no grafica.

clear clc

Eq=@(t,y) -2*t-y;% esta es la ecuación diferencial

y=-1;H=0.1;

disp('       Resultados Finales')

disp('    t   y    k1     k2   ')

  for  t=0:H:1

    fprintf('\n %7.5f %7.5f',t,y)

    k1=Eq(t,y);

    k2=Eq(t*H,y+H*k1);

    y=y + H*(k1+k2)/2;

    fprintf('%8.5f %8.5f\n',k1,k2)    

  endfor

La salida del programa es                                                                                                     

       Resultados Finales

    t        y       k1     k2

 0.00000 -1.00000 1.00000  0.90000

 0.10000 -0.90500 0.70500  0.81450

 0.20000 -0.82903 0.42902  0.74612

 0.30000 -0.77027 0.17027  0.69324

 0.40000 -0.72709-0.07291  0.65438

 0.50000 -0.69802-0.30198  0.62822

 0.60000 -0.68171-0.51829  0.61354

 0.70000 -0.67694-0.72306  0.60925

 0.80000 -0.68263-0.91737  0.61437

 0.90000 -0.69778-1.10222  0.62801

 1.00000 -0.72149-1.27851  0.64935

SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE E.D.O CON VALOR INICIAL DE PRIMER ORDEN

EJEMPLO Nº 8   Método de Runge – Kutta de cuarto orden.

Resolver el siguiente sistema de E.D.O con valor inicial

                  f:          x(0)=1                                       (1)[pic 16]

                 g:          y(0)=-1                    (2)[pic 17]

por el método de Runge – Kutta de cuarto orden. H= 0.1 (Tamaño de paso)

PROCEDIMIENTO POR SOLUCIÓN MANUAL.

Algoritmo de Runge – Kutta de cuarto orden.

k1=Hf(t,x,y)

c1=Hg(t,x,y)

k2=Hf(t+ H/2, x + k1/2, y + c1/2)

c2=Hg(t+ H/2, x + k1/2, y + c1/2)

k3=Hf(t + H/2, x + k2/2, y + c2/2)

c3=Hg(t + H/2, x + k2/2, y + c2/2)

k4=Hf(t + H, x +k3, y + c3)

c4=Hg(t + H, x +k3, y + c3)

xn+1 = xn + (k1 + 2(k2 + k3) + k4)/6

yn+1 = yn + (c1 + 2(c2 + c3) +c4)/6

Donde la ecuación (1) es la función f  y la ecuación (2) es la función g.

Al aplicar este método siempre se usa el valor k previo para incrementar los valores de la función y el valor de H para incrementar la variable independiente.

Para t=0  x=1 y= -1

k1=0.1f(0,1, -1)= 0.1[(1)(-1) + 0]= - 0.1           c1=0.1g(0,1,-1)=0.1[(0)(-1) +1]=0.1

k2=0.1f(0+0.1/2,1-0.1/2,-1+0.1/2)                   c2=0.1g(0.05,0.95,-0.95)              

    =0.1f(0.05,0.95, -0.95)                                    =0.1[(0.05)(-0.95)+0.95]= 0.0902  

    =0.1[(0.95)(-0.95)+0.05]= -0.0852               c3=0.1g(0.05,0.9574,-0.9549)

k3=0.1f(0+0.1/2,1-0.0852/2,-1+0.0902/2)           =0.1[(0.05)(-0.9549)+0.9574]= 0.0910

    =0.1f(0.05, 0.9574, -0.9549)                         c4=0.1g(0.1, 0.9136, -0.9090)

    =0.1[(0.9574)(-0.9549)+0.05]= -0.0864            =0.1[(0.1)(-0.9090)+ 0.9136]= 0.0823

k4=0.1f(0+0.1,1-0.0864,-1+0.0910)                Nota: Los mismos parámetros de la  

    =0.1f(0.1, 0.9136, -0.9090)                                    función f son los mismos para la

    =0.1[(0.9136)( -0.9090) +0.1]= -0.0730                 función g

 Primera iteración

   x(0.1) = 1  + (-0.1 + 2(-0.0852-0.0864)  -0.0730)/6   =   0.9140

   y(0.1) = -1 + (0.1  + 2(0.0902+ 0.0910) + 0.0823)/6  = -0.9092

Para t=0.1  x=0.9140  y= -0.9092

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