Operaciones fundamentales con números complejos

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Operaciones fundamentales con números complejos.

Aprendí un poco acerca de los números complejos y su uso así que trataré de explicar con mis palabras de los que entendí acerca de estos, ya que como estudiante de 3er semestre de universidad hasta ahora solo conocía los números reales ya que son con los que se trabaja principalmente pero ahora me doy cuenta de que existen otros, ya los había escudo, pero no sabía y ni siquiera tenia una idea de como eran, para que se utilizaban, etc.

Existen 3 tipos de números, los naturales o reales, los racionales y los complejos que son en los que me centrare en este ensayo, este tipo de números, algo misteriosos, por el momento, aparecen entre las soluciones de ecuaciones algebraicas con una incógnita no tienen raíces reales. No se puede tener una raíz cuadrada de un numero negativo. No se puede tener una raíz cuadrada de un numero negativo.

El primero en usar los números complejos fue el matemático italiano Girolamo Cardano quien encontró la fórmula para resolver las ecuaciones cúbicas. El término “numero complejo” fue introducido por el gran matemático alemán CARL FRIEDRICH GAUSS cuyo trabajo fue de importancia básica en álgebra, teoría de los números, ecuaciones diferenciales, geometría diferencial, geometría no euclidiana, análisis complejo, análisis numérico y mecánica teórica, también abrió el camino para el uso general y sistemático de los números complejos.

Pero ¿Qué resultados? O ¿Qué obtendríamos si le damos un resultado a una raíz negativa? ¿Por qué no simplemente decimos que esta no tiene solución y nos ahorramos problemas? La necesidad de resolver todas las ecuaciones cuadráticas, incluyendo estas cuyas soluciones nos dan este tipo extraño de números, nos motiva a crear sistema numérico ampliado, con características similares a las de los números reales. Dentro de este contexto se acepta el símbolo √ −1 como una entidad matemática nueva. Veamos a continuación como se construyen estos nuevos números.

Los números complejos pueden ser sumados, restados multiplicados o divididos (salvo la división por 0 + 0i), las reglas formales y definiciones son iguales a las que usamos con los números reales.

Para sumar dos números complejos hay que sumar las partes reales por un lado y las partes imaginarias por otro lado, como números reales. En el caso de la resta o diferencia de dos números complejos se realiza restando cada parte por separado. La multiplicación puede hacerse de dos maneras; o bien se aplica directamente la fórmula, o bien se multiplican los complejos como expresiones algebraicas, teniendo cuidado de hacer al final la sustitución i2 = -1. Para dividir dos números complejos, multiplique el numerador y el denominador por el conjugado complejo, desarrolle y simplifique. Y al final se escribe la respuesta final en la forma estándar.

Por concluir, los números complejos tiene gran importancia en la Matemática, ya que te proporciona herramientas de trabajo para resolver ecuaciones que no tenían solución en el dominio de los números reales. También te permite resolver ejercicios utilizando los símbolos ya estudiados para los conjuntos numéricos.

Por otra parte, la adición y sustracción de números complejos es muy similar a como lo haces en el trabajo con variables, solo que, en lugar de una variable, encuentras la unidad imaginaria.

También la multiplicación se apoya en los conocimientos que tienes de este tema sobre el trabajo con variables, agregando las potencias de i, ya que en algunos productos encuentras la i elevada a un exponente determinado, el cual debes sustituir por uno de los resultados que se obtiene al efectuar la potencia.

Potencias de i módulo o valor absoluto de un número complejo.

El valor absoluto, módulo o magnitud de un número complejo z viene dado por la siguiente expresión:

Si pensamos en z como algún punto en el plano; podemos ver, por el teorema de Pitágoras, que el valor absoluto de un número complejo coincide con la distancia euclídea desde el origen del plano.

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