PROBLEMAS SOBRE MÁXIMOS Y MÍNIMOS

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PROBLEMAS SOBRE MÁXIMOS Y MÍNIMOS

1. Una empresa vende 0.7 toneladas de zumo y 0.3  de sobrante por cada tonelada de materia prima. El coste de la prima es de 0.8 €/kg, los precios de venta del zumo y del sobrante son 2.5€/kg y 0.05€/kg, respectivamente, y el coste de producción viene dado por la función Coste(x)=0.05 , donde x representa las toneladas de zumo producido.[pic 2]

Obtener:

1. Una expresión para calcular las ganancias netas en función de las toneladas de materia prima.
2. La cantidad de zumo que se debe fabricar para que las ganancias netas sean máximas.

SOLUCIÓN:

Sea x la cantidad de materia prima y sean z y s las cantidades de zumo y de sobrante, respectivamente.

El número de toneladas de zumo producido en función de las toneladas de materia prima es:

Z= 0.7 x

Y de sobrante:

S=0.3x

Las ganancias brutas son:

g(x)= [pic 3]

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Hemos  multiplicado por 1000 porque el precio es por kilo y no por tonelada.

El coste total es el coste de la materia prima más el coste de producción:

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Luego las ganancias netas en función de las toneladas de materia prima son:

[pic 9]

Calculamos la primera derivada:

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Igualamos la derivada a 0 y resolvemos la ecuación para buscar puntos críticos:

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Representamos los puntos obtenidos en la recta real y estudiamos el signo de la derivada: [pic 12]

Elegimos el punto x=−100 del primer intervalo, el punto x=0 del segundo y el punto x=100del tercer intervalo:

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Por el criterio de la primera derivada, la función es decreciente en el primer y tercer intervalo y creciente en el segundo:

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Nota: Podemos acotar el dominio de la función al intervalo de los reales positivos ya que no tiene sentido que se produzcan cantidades negativas de zumo.

Deducimos que en el punto x=−80.21 la función tiene un mínimo y en el punto x=80.21 tiene un máximo.

Por tanto, las ganancias netas son máximas cuando la cantidad de materia prima es 80.21 toneladas. En toneladas de zumo, equivale a 56.15 toneladas ya que[pic 15]

1. Encontrar dos números tales que la suma de uno de ellos con el cubo del otro sea 108 y que su producto sea lo más grande posible.

SOLUCIÓN:

Sean los números x e y. El hecho de que la suma de uno de ellos con el cubo        del otro es 108 se representa del siguiente modo:

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            De donde podemos obtener y en función de x:

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            La función producto es:[pic 18]

1. Derivamos la función:[pic 19]

1.  Igualamos a 0 la derivada y resolvemos la ecuación:[pic 20]

X=3 Es el valor crítico obtenido.

Se calcula la segunda derivada:[pic 21]

1. Se sustituye x=3 en la segunda derivada

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1. Sustituimos a  X en la ecuación para encontrar el valor de y:

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 Los números son  y  y su producto es.[pic 26][pic 27][pic 28][pic 29]

1. Se desea construir una mesa de madera de 3 metros cuadrados con la siguiente forma:[pic 30]

La mesa está formada por un rectángulo de lados b y h y en los lados que miden h hay adosados dos semicírculos de igual radio R.

Si el precio de la madera es de 120€ por metro cuadrado y el coste del biselado de los bordes de la mesa es de 5€ por decímetro para los bordes rectos y 11€ por decímetro para los bordes curvos, calcular las dimensiones de la mesa (b y h) para que su coste sea mínimo.

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