Probabilidad y Estadística para la Ingeniería

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Instituto Politécnico Nacional

Unidad Profesional Interdisciplinaria en Ingeniería y Tecnologías Avanzadas

Probabilidad y Estadística para la Ingeniería

Tarea de investigación 2

Temas de inferencia estadística

Fecha de entrega

7 de abril de 2021

Interferencia estadística

Interferencia estadística es aquel conjunto de métodos mediante los cuales se hacen generalizaciones acerca de una población, dentro de este rubro podemos destacar dos áreas principales: la estimación y prueba de hipótesis.

La estimación, mediante su método clásico, busca hacer suposiciones a partir de datos obtenidos de una muestra aleatoria extraída de la población. Estimación que a su vez se divide en puntual e intervalos de confianza.

La estimación puntual es solo un valor correspondiente a un parámetro cual sea sobre una muestra del cual se busca que sea eficiente, consistente, suficiente y robusto, obtenido a partir de un estadístico en especial, a los cual llamaremos estimadores puntuales, mismos que podemos clasificar en dos categorías: estimadores insesgados y estimadores con varianza mínima.

Los estimadores insesgados son aquellos cuya esperanza matemática coincide con el parámetro que se desea estimar y de no coincidir, se toma la diferencia de estos valores como un sesgo, formalmente escrito “Se dice que un estimador puntual  es un estimador insesgado de si E()=  con todo valor posible de. Si  no es insesgado, la diferencia se conoce como el sesgo de ” [1, p. 231]. El estimador (de todos los posibles) con varianza mínima se llama estimador con varianza mínima.[pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8]

Los métodos más conocidos y usados de estimación son el método de momentos y el método de la máxima verosimilitud. El método de los momentos consiste en igualar ciertas características muestrales a los valores esperados de la población correspondiente y el método de máxima verosimilitud consiste en obtener el parámetro que maximiza la probabilidad de obtener una muestra observada, este método consiste en elegir como estimador del valor del parámetro poblacional  a aquel que hace máxima la función de verosimilitud misma que según [1, p. 246] “La función de verosimilitud dice qué tan probable es que la muestra observada sea una función de los posibles valores de parámetro”.[pic 9]

Intervalo de confianza 

Al igual que la estimación puntual, el intervalo de confianza busca encontrar, dado un parámetro, en una muestra un valor de interés que represente una buena suposición del valor real; pero que mejora al método de estimación puntual, pues implementa un intervalo el cual aumenta la probabilidad de que este contenga el parámetro de interés. Los intervalos de confianza siempre se calculan eligiendo primero un nivel de confianza y que según [1, p. 254] “[…]Mientras más alto es el nivel de confianza, más fuerte es la creencia de que el valor del parámetro que se está estimando queda dentro del intervalo”.

Una interpretación que se le podría dar a los intervalos de confianza es que garantiza que, si tomamos 20 muestras, el valor del parámetro estará dentro del intervalo en aproximadamente en 19 de los intervalos construidos. Por ejemplo, en el siguiente gráfico podemos observar que la línea negra representa un valor fijo de la media de una población y las líneas azules verticales representan las muestras en los cuales se encuentra la media de la población, pero al tratarse de un intervalo de confianza del 95% existe un intervalo el cual no contiene este [pic 10]

El intervalo de confianza está compuesto por límites que, según las necesidades del problema, pueden ser bilaterales o unilaterales. Los límites de confianza bilaterales se conforman por uno superior y uno inferior definidos por la siguiente formula:

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Los límites de confianza unilaterales según [2, p. 273]“Si  es la media de una muestra aleatoria de tamaño n a partir de una población con varianza , los límites de confianza unilaterales  para  son dados por:[pic 12][pic 13][pic 14][pic 15]

Limite unilateral superior:  [pic 16]

Limite unilateral inferior:  ”[pic 17]

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Considerando que existen dos comunes intervalos de confianza como lo es 95 y 99% estimamos para 95 un valor de  y para 99 un  . [pic 21][pic 19][pic 20]

Ahora imaginemos que tomamos una muestra un poco menor que el total de la población, con estos datos decidimos hacer un intervalo, como la muestra es casi del tamaño de la población total es lógico de pensar que este intervalo contendrá los datos más precisos que se desean obtener y mientras más chica hacemos esta muestra la precisión del intervalo se va dispersando. Es por lo que consideramos que a una mayor información (muestra), el intervalo se hace más preciso.

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