Problemas de control
Enviado por EduardoSe213 • 6 de Diciembre de 2021 • Prácticas o problemas • 1.212 Palabras (5 Páginas) • 689 Visitas
Alumno: Alan Eduardo Ortega Tobias
Control
15/11/2021
Problemas 2-2.
- Escribir la función de transferencia G(s) para los sistemas dados por las siguientes relaciones entrada-salida:
- Circuito RC con entrada v y salida i
[pic 1]
- Circuito RLC con entrada v y salida [pic 2]
[pic 3]
- El sistema hidráulico, un tubo en U con entrada q y salida h
[pic 4]
- Sistema masa-resorte-amortiguador con entrada F y salida x
[pic 5]
La ecuación diferencial esta dada por:
por tanto, por medio de ella podremos definir Laplace de las ecuaciones anteriores siempre y cuando sus condiciones iniciales sean igual a 0, y por medio de ella sacar las funciones de transferencia.[pic 6]
Solución a)
[pic 7]
[pic 8]
Solución b)
[pic 9]
[pic 10]
Solución c)
[pic 11]
[pic 12]
Solución d)
[pic 13]
[pic 14]
- ¿Cuáles son los ordenes de los elementos dados por las funciones de transferencia obtenidas en la solución del problema 1?
a) orden 1
b) orden 2
c) orden 2
d) orden 2
- Describir el comportamiento de un sistema de primer orden cuando está sujeto a, a) una entrada escalón, b) una entrada rampa, y c) una entrada impulso.
Cuando esta sujeto a una entrada escalón la relación adapta la forma:
[pic 15]
Laplace de salida es
[pic 16]
[pic 17]
La transformada de Laplace para una entrada escalón en t=0 es [pic 18]
Por lo tanto, Laplace de salida:
[pic 19]
La transformada es de la forma
[pic 20]
Por lo tanto, para una entrada escalón:
[pic 21]
Cuando esta a una entrada rampa:
[pic 22]
[pic 23]
[pic 24]
La transformada de Laplace para una entrada rampa en t=0 es [pic 25]
[pic 26]
La transformada es de la forma
[pic 27]
Por lo tanto, para una entrada rampa:
[pic 28]
Cuando esta una respuesta impulso:
[pic 29]
Laplace de salida es
[pic 30]
[pic 31]
La transformada de Laplace para una entrada impulso en t=0 es [pic 32]
[pic 33]
[pic 34]
La transformada es de la forma
[pic 35]
De este modo:
[pic 36]
- Un sistema tiene la siguiente relación entre su salida y su entrada en el dominio de s. ¿Cuál es el estado del amortiguamiento en el sistema cuando está sujeto a una entrada escalón?[pic 37][pic 38]
[pic 39]
Solución: Para una entrada del tipo escalón, tenemos [pic 40]
Por lo tanto, simplificamos a:
[pic 41]
Las raíces son distintas, [pic 42]
El sistema está sobreamortiguado, ya que tiene raíces reales diferentes.
- Un sistema de segundo orden tiene un factor de amortiguamiento relativo de 0.2, una frecuencia angular libre de 5 Hz, y una función de transferencia en estado estable de 2. ¿Cuál es la relación entre la entrada y salida en el dominio de s para el sistema y el sobrepaso de porcentaje cuando este sujeto a una entrada escalón?
Solucion:
En el dominio de s, la ecuación de segundo orden será de la forma dada por la ecuación:
[pic 43]
Donde es una constante, la frecuencia angular natural y el factor de amortiguamiento relativo. De este modo:[pic 44][pic 45][pic 46]
[pic 47]
[pic 48]
La solución queda de la forma:
[pic 49]
Por ultimo, obtenemos el sobrepaso de porcentaje con:
[pic 50]
- Describir el comportamiento de un sistema de segundo orden cuando este sujeto a) una entrada escalón, b) una entrada rampa y c) una entrada impulso.
Consideremos la salida de un sistema de segundo orden cuando este sujeto a una entrada del tipo escalón.
[pic 51]
[pic 52]
Al representarlo en el dominio s, queda de la siguiente manera:
[pic 53]
La entrada a que para un escalón unitario entonces[pic 54]
[pic 55]
reordenamos términos
[pic 56]
donde son las raíces de la ecuación[pic 57]
[pic 58]
Sacamos raíces por formula general
[pic 59]
[pic 60]
[pic 61]
[pic 62]
Se dice que la transformada inversa depende del valor del factor de amortiguamiento relativo . Cuando entonces es un número real y se dice que el sistema es sobreamortiguado, esto significa que ambas raíces son reales.[pic 63][pic 64][pic 65]
Representemos estas ecuaciones por medio de fracciones parciales.
[pic 66]
[pic 67]
Por lo tanto, cuando s=m, tenemos:
[pic 68]
[pic 69]
Sustituimos los valores de a partir de las ecuaciones que teníamos previamente definidas, y tenemos que[pic 70]
[pic 71]
[pic 72]
Al simplificar obtenemos
[pic 73]
[pic 74]
Cuando [pic 75]
[pic 76]
[pic 77]
[pic 78]
La respuesta final del sistema es la transformada inversa de la ecuación, la transformada inversa para 1/s es 1, para A (s es Aexp( y para B(s-[pic 79][pic 80][pic 81]
[pic 82]
Al sustituir valores:
[pic 83]
[pic 84]
Cuando se dice que el sistema está criticamente amortiguado, la ecuación se convierte en:[pic 85][pic 86]
[pic 87]
Cuando las raíces son complejas y se dice que el sistema está subamortiguado.[pic 88]
...