Proyecto: Funciones lineales en química

Marco Teórico.

En este trabajo se hace una propuesta para la comprensión del concepto de función lineal con un enfoque en aplicaciones en química.

Debido a las múltiples aplicaciones del concepto de función lineal en diferentes contextos reales, y a la posibilidad de conectarlo con otras disciplinas, consideramos importante plantear nuevas formas de enseñar este concepto. En este trabajo se explican algunos ejemplos de conceptos en química relacionados con funciones lineales.

Particularmente, la ecuación lineal es la más elemental de las ecuaciones y la más utilizada en la actividad diaria. Esta función tiene diversas aplicaciones en diferentes áreas, como en la economía, la física, la química entre otras ciencias y áreas de conocimiento. Se aplica en todo problema donde se relacionen dos variables proporcionalmente.

Las funciones lineales tienen muchísimas aplicaciones en aspectos muy comunes de nuestra de nuestra vida real. Por eso es de suma importancia conocerlas y saber resolverlas nos facilita el trabajo.

Estos temas, aunque no lo parezcan, están ligado estrechamente a la vida cotidiana en diversas situaciones y constituyen las herramientas fundamentales de muchos trabajos. Nuestro objetivo es aprender a relacionar los conocimientos matemáticos con distintos conceptos y fenómenos químicos y naturales que ocurren en nuestro alrededor día a día.

Funciones.

En el campo científico, ya sea el campo químico, físico, médico, económico, social etc, es común establecer expresiones que pueden resolverse a través de gráficas, de fórmulas o de tablas.

Repasando brevemente una función lineal es una función de la forma f (x) = mx+ b que se representa como una línea recta en el plano cartesiano. “m” y “b” son constantes y “x” es una variable, la “m” es la pendiente de la recta, es decir la inclinación, y la “b” es el punto en donde la recta atraviesa el eje y.

La función lineal expresa la relación entre el valor de dos variables, el cual es directo y proporcional. Se le llama función lineal ya que al representar estos valores en un plano cartesiano el resultado es una línea recta.

Una función matemática es una relación entre dos conjuntos de valores, que puede representarse mediante ecuación y graficarse en un plano cartesiano El resultado de la función se representa como f(x), y se lee función de x. Estas relaciones pueden ser directas, inversas. Las relaciones directas son aquellas en las que al aumentar una cantidad, la otra también aumenta, y si una cantidad disminuye, también disminuye la otra.

Marco Teórico

Definiciones fundamentales para comprender el concepto de función.

Constante.

• Es una cantidad que tiene un valor fijo en determinado cálculo, proceso o ecuación.
• Es un valor permanente que no puede modificarse dentro de un cierto contexto.

Variable.

• Representa aquello que varía o que está sujeto a algún tipo de cambio.
• Caracterizado por ser inestable y tomar diversos valores.
• Es un símbolo que permite identificar a un elemento con valor no especificado dentro de un determinado grupo. Ejemplos: letras como y, z, a, b, c, etc.

Puede hablarse de distintos tipos de variables, pero en nuestro caso, escribirenos sobre las dependientes y las independientes.

1. Variable dependiente. Necesita del valor que se le asigne a otros fenómenos para tener el propio. Se ve afectada por los cambios o valores de las variables independientes.
2. Variable independiente. Sus valores o cambios influyen en las de otras variables.

¿Qué es una función?

Es una relación entre dos conjuntos de elementos, en la cual a cada elemento del conjunto de partida (también llamado dominio) le corresponde sólo un elemento del conjunto de llegada (conocido como codominio).

[pic 1]

En la ilustración anterior le asignamos al dominio la letra X y al codominio la letra Y.

Si para el dominio de una función (X) los valores ya están determinados, entonces el codominio de una función es el conjunto de valores que puede tomar la letra Y dependiendo del valor de X.

También, la variable dependiente en este caso es Y porque su valor se ve afectado por el que tenga X. Y el valor de X, al estar ya determinado, se convierte en la variable independiente.

Todo lo anterior se expresa de la siguiente manera:

Y= f(x)     y se lee “Y en función de x”.

Pongamos un ejemplo más sencillo para englobar el significado de función y sus componentes:

Si un metro de tela cuesta $12, el costo de una pieza de tela dependerá del número de metros que tenga la pieza. Si la pieza tiene 5 metros, el costo de la pieza será $60; si tiene 8 metros será $96, etc.

Ahora identifiquemos todos los componentes:

La constante es el precio de un metro de tela ($12), porque siempre será el mismo.

La variable independiente es el número de metros porque influye en el cálculo del costo de una pieza de tela. Es posible asignarle ciertos valores (en el ejemplo fueron 5 y 8).

La variable dependiente es el costo de una pieza de tela porque necesitamos saber el número de metros para calcular el costo.

Al dominio lo constituyen todos los valores de metros de tela.

El codominio estará integrado por el costo de tela dependiendo de los metros que tenga una pieza.

Y la función la podemos representar mediante una expresión matemática de la siguiente manera:

Sea x= el número de metros que queremos de tela.

y=el costo de la tela que queremos.

Constante= $12

Entonces, F(x)= 12x “En función de x, y es igual a 12 veces el valor que tome x”

Si comprobamos la función, podremos obtener el costo de cualquier cantidad de metros de tela que deseemos.

Las funciones pueden ser graficadas.

Según el diccionario de la Real Academia Española, graficar proviene de gráfico que es representar mediante figuras o signos.

En el contexto matemático graficar es representar datos numéricos por medio de coordenadas en un plano cartesiano que hacen visible la relación o gradación que esos datos guardan entre sí.

¿Qué es el plano cartesiano? ¿Qué son las coordenadas?

El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas, una horizontal (también llamada eje de las abscisas o de las equis “x”) y otra vertical (el eje de las ordenadas o de las yes “y”) que se cortan en un punto.

[pic 2]

Tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan a través de coordenadas. Éstas se forman asociando un valor del eje de las “x” y uno de las “y” respectivamente. Se pueden representar como se muestra en la imagen de arriba.

Luego, las funciones pueden ser representadas en un plano cartesiano al obtener los valores de la variable dependiente, determinar los de la independiente, ubicarlos en el plano cartesiano y unirlos convenientemente.

Generalidades de las funciones lineales de primer grado.

Toda función de este tipo, al graficarlas, representa una línea recta y por eso se llama función lineal. La ecuación que representa la función se llama ecuación lineal.

Relaciona dos magnitudes directamente proporcionales (x,y). Su ecuación tiene la forma:

Y= mx

Donde el factor m es la constante de proporcionalidad y recibe también el nombre de pendiente o Tasa de Variación Media (T.V.M). Este tipo de funciones carece de término independiente y las líneas rectas que se representan pasan siempre por el origen.

De manera contraria si la función tiene término independiente, o sea si es de la forma Y=mx + c donde m y c son constantes, la línea recta que ella representa no pasa por el origen y su intercepto sobre el eje de las y es igual al término no independiente c.

Ejemplo.

[pic 3]

Tasa de Variación Media.

Muestra la razón entre el cambio de la variable “y” con respecto al de la variable “x” en un intervalo determinado. Puede ser un aumento o disminución proporcional.

Si hablamos de una razón entonces se entiende que es un cociente. Este está determinado de la siguiente manera:

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