RESUMEN FLUJO REPTANTE

RESUMEN FLUJO REPTANTE

Flujo reptante o flujo de Stokes: flujo a muy baja velocidad, es decir, a muy bajos valores del número de Reynolds (<<1). Este tipo de flujo se caracteriza por la ausencia de remolinos.

Aplicaciones:

Análisis de pequeñas partículas a través de un fluido.

Problemas de lubricación.

Objetos sumergidos.

Este tipo de flujo se presenta en:

Medios porosos.

Suspensiones reológicas.

Comportamiento de dispersiones coloidales

Proceso de fundido de polímeros (valores grandes de m).

Para números de Reynolds menores que la unidad, las fuerzas viscosas son mayores que las fuerzas de inercia.

Consideraciones Generales de Fluidos con Bajos Números de Reynolds

Para valores pequeños del número de Reynolds, la ecuación de Navier-Stokes es aproximada por la ecuación de Stokes:

Ecuación de Navier-Stokes

Ecuación de Stokes

La cual es válida tanto para funciones dependientes del tiempo como para flujo estable, si Re→0 y si la escala de tiempo para cualquier fuerza aplicada excede la escala de tiempo viscosa. Esto hace al sistema pseudoestable y lineal.

El carácter pseudoestable del flujo reptante significa, matemáticamente que el tiempo entra sólo como un parámetro. Esto implica que los campos de presión y velocidad responderán instantáneamente ante cambios en la fuerza de presión o de movimiento de las superficies.

La ecuación de Stokes y la de continuidad para un fluido incompresible constituyen un juego de ecuaciones diferenciales parciales lineales, importantes para el análisis de flujo reptante. La linealidad de las ecuaciones para flujo reptante es especialmente usada en el análisis del movimiento de partículas suspendidas. Una implicación física de dicha linealidad es que el flujo reptante es reversible en cuanto a la dirección del fluido pero sin mostrar cambios en los patrones de líneas de corriente.

La propiedad de la presión en el flujo reptante resulta de las ecuaciones de continuidad y de Navier-Stokes. Aplicando la divergencia a ambos lados de la ecuación de Stokes

Debido a que , la ecuación de Laplace gobierna tanto a P como a P. Entonces, si la presión o los gradientes de presión son conocidos en todos los limites, los campos de presión pueden ser determinados sin consideración explícita de v. Un resultado complementario es obtenido para la velocidad.

Aplicando el operador de Laplace en lugar de la divergencia a ambos lados de la ecuación de Stokes obtenemos:

Esta expresión análoga a la ecuación de Laplace es llamada: ecuación biarmónica. La vorticidad también satisface la ecuación de Laplace:

Dado que ∇×∇b=0 donde b es una función escalar y el rotacional de la velocidad es la velocidad angular, ∇×v=w

Las ecuaciones para la función de corriente son obtenidas despreciando el término inercial de la ecuación de Navier-Stokes:

,

Donde es usada para flujos planos, es decir, irrotacionales y E4ψ para fluidos axisimétricos.

Otra característica importante del flujo reptante afecta al cálculo de fuerzas de superficie. Si los efectos gravitacionales son despreciados o de forma equivalente, si σ es escrita usando P en lugar de P:

σ=-Pδ+τ, donde τ es el tensor esfuerzo viscoso y Pδ es el esfuerzo normal de la presión. La presión es el único esfuerzo en un fluido en reposo.

Aplicando este resultado a un volumen macroscópico V de un fluido limitado por la superficie S y usando el teorema de la divergencia para tensores, obtenemos:

Suponemos ahora que S consiste de dos partes, una superficie cerrada interna S1 y una superficie externa S2, la cual rodea completamente a S1, tal que V es el volumen del fluido entre las dos superficies cerradas, por tanto:

Lo cual indica que la fuerza en S1 es transmitida completamente a S2. La ecuación anterior puede ser usada en el cálculo de la fuerza en un fluido dinámico sobre un objeto sumergido, cuya superficie corresponde a S1.

Si σ es conocida, pero si la forma del objeto es irregular, la ecuación provee la opción de calcular la fuerza por integración n•σ sobre alguna superficie más conveniente S2 en el fluido.

Otro resultado general para el flujo reptante es el Teorema del Recíproco reportado por Lorentz en 1906:

Donde v^' es un campo de velocidades que satisface las ecuaciones de continuidad y de Stokes a través de algún volumen V rodeado por la superficie S, y σ^' el tensor esfuerzo correspondiente. Como en la ecuación , las fuerzas gravitacionales y otras fuerzas fueron despreciadas. Ahora, σ^'' y v^'' serán el esfuerzo y la velocidad del flujo reptante del mismo fluido en una geometría idéntica, pero con condiciones límite diferentes en S.

Usando la ecuación constitutiva para un fluido incompresible y newtoniano, se puede escribir σ^' como

σ^'=-P^' δ+2μΓ^'

Con esta definición, y aplicando el doble producto punto de cada término con Γ^'' , además de otras de identidades y propiedades, se obtiene el teorema del recíproco.

Soluciones unidireccionales y cuasiunidireccionales.

Ejemplo 5.1. Torque sobre una esfera rotante. Considere una esfera de radio R que rota a una velocidad angular w en el eje z. La esfera está sumergida en un volumen de fluido grande. Las escalas de velocidad y longitud en este problema son R y wR respectivamente, sugiriendo que la ecuación de Stokes será una buena aproximación si Re=(ωR^2)/v≪1

Figura 5.3. Esfera rotante.

Como punto

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