Recorrido Historico De Conjuntos

Conjuntos: recorrido histórico

La noción de conjunto apareció con la necesidad del hombre de realizar un agrupamiento de objetos o cosas. En primera instancia agrupaban los dedos de las manos como instrumento contable, estos los usaban para representar conjuntos de dos, tres, cuatro o cinco objetos; además por medio de los dedos de las manos podían representar colecciones de hasta diez elementos.

El problema radicaba cuando el uso de los dedos de las manos y de los pies resultaba inadecuado, para resolver el inconveniente utilizaban pequeños montones de piedras para representar una correspondencia biunívoca con los elementos de otro conjunto, cuando se empleaba este sistema de representación a menudo amontonaban las piedras por grupos de a cinco, debido a que antes se familiarizaban con los quíntuplos de objetos por observación de sus propias manos o pies.

Con lo mencionado anteriormente se observa que la noción de conjunto nació debido a la necesidad de hacer un agrupamiento de objetos de acuerdo a ciertas necesidades o características.

Ya con el nacimiento de grandes matemáticos se fueron introduciendo definiciones precisas y una simbología adecuada para los conjuntos. En los siglos XIX y XX la matemática prolifera y florece como quizás ningún otro quehacer del espíritu. Movidos por la misma riqueza y audacia de sus invenciones, algunos matemáticos notables se ponen a reflexionar sobre la naturaleza y alcance de su actividad. Su reflexión es lo que se llama filosófica y así la entienden; pero la conducen como matemáticos que son, asociando libertad y rigor, fantasía fructuosa y precisión pretensiosa, en el estilo propio de su disciplina.

Esta filosofía matemática de la matemática existe de dos maneras. Por una parte, hay una corriente más o menos unitaria de pensamiento que ejerce una enorme influencia sobre la investigación matemática y ha llegado a dominar la enseñanza universitaria. Esta corriente se autodenomina "clásica", pero se llamara "conjuntista" porque coloca al centro de la matemática, en una forma u otra, la noción de conjunto y trabaja en fortalecerla. Iniciada por Dedekind (1831-1916) y Cantor (1845-1918), incorpora logros de Frege (1848-1925), Peano (1858-1932), Whitehead (1861-1947) y Russell (1872-1970).

Cabe mencionar la simbología utilizada por Boole, Peano y Frege en sus aportes desde la lógica a los conjuntos.

George Boole (1815-1864)

Un matemático esencialmente autodidacta construyo la lógica formal y un nuevo tipo de algebra que se conoce como “algebra de Boole”, que a la vez es el algebra de los conjuntos y el algebra de la lógica. Boole utilizaba las letras x, y, z,…, para representar objetos de un cierto subconjunto de cosas seleccionadas de un conjunto universal cuya totalidad representaba por el símbolo o numero 1. Por ejemplo, si el símbolo 1 representaba al conjunto de todos los europeos, x podría representar a todos los europeos que son ciudadanos franceses, y podría representar a todos los hombres europeos de mas de 21 años, y z podría representar a todos los europeos que miden entre 1,50 y 1,80 metros de estatura.

El símbolo o “número” 0 lo tomo Boole para representar el conjunto vacío, que no contiene ningún elemento del conjunto universal. El signo + entre dos letras o símbolos, como x + y, lo considero representando la unión de los subconjuntos x e y, es decir, el conjunto formado por los elementos que figuran en x o en y o en ambos. El signo de multiplicación × representaba la intersección de conjuntos, de manera que x × y representaba el conjunto de todos los elementos que están simultáneamente en el subconjunto x y en el subconjunto y.

En el ejemplo anterior x + y consistiría en el conjunto de todos los europeos que o son ciudadanos franceses o son hombres y tienen más de 21 años o las dos cosas simultáneamente; x × y (que se escribe también como x ∙ y, o simplemente x y) sería el conjunto de los ciudadanos franceses que son hombres y tienen más de 21 años. . (Boole, contrario que De Morgan, utilizaba la unión excluyente, no permitiendo que hubiera elementos comunes entre x e y, pero en el álgebra de Boole moderna considera más conveniente tomar la operación + como la unión usual, no excluyente, de conjuntos que pueden tener elementos comunes).

Es inmediato comprobar que las cinco leyes fundamentales del álgebra se verifican en cualquier álgebra de Boole de conjuntos, es decir, que

x+y=y+x

xy=yx

x+(y+z)=(x+y)+z

x(yz)=(xy)z

x(y+z)=xy+xz

Sin embargo, no todas las reglas del álgebra usual siguen siendo válidas. Por ejemplo, se tiene evidentemente que 1 + 1 = 1 y que x ∙ x =x (la segunda propiedad aparece en la obra de Boole, pero no la primera, por utilizar la unión excluyente).

Giuseppe Peano (1858-1932)

Dentro de la simbología utilizada en los conjuntos cabe

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