Resolución de ecuaciones diferenciales parciales
ratasovietikInforme5 de Junio de 2019
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Tarea 3
[pic 1]
Resolución de ecuaciones diferenciales parciales[pic 2]
[pic 3]
Autor: Esteban Martínez M.
Profesor: Claudio Muñoz C. Héctor Olivero Q.
Auxiliares: Dasla Pando F.
Edgardo Matthies
Matías Rojas
Fecha de realización: 5 de junio de 2019
Fecha de entrega: 5 de junio de 2019
Santiago, Chile
Índice de Contenidos I
Índice de Contenidos
- Ecuación de calor con condiciones de borde Dirichlet 1
- Separación de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
- Condiciones de borde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
- Condición inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
- Implementación de algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
- Ecuaciones de ondas con condiciones de borde Neumann 12
- Separación de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
- Condiciones de borde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
- Condición inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
- Cálculos numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
- conclusión 20
Ecuación de calor con condiciones de borde Dirichlet
La función de calor u = u(t,x) es la temperatura en el tiempo t y en la posición x en la una barra,dada u0 = u0(x) función definicda en [0,1] que satisface u0(0) = u0(1) = 0, se tiene que:
[pic 4] (1.1)
u(t = 0,x) = u0(x),x ∈ [0,1] (1.2)
u(t,x = 0) = u(t,x = 1) = 0. (1.3)
Separación de variables
Primero se utiliza separación de variables, buscando soluciones no triviales para u de la forma:
U(t,x) = T(t)X(x). (1.4)
Para determinar T(t) y X(x), se reemplaza (1.4) en (1.1):
T(t)0X(x) = T(t)X00(x),0 < x < 1,t > 0 (1.5)
Ahora se divide multiplica en ambos lados de la ecuación por X[pic 5](x1)T(t):
T(t)0 X00(x)
= ,0 < x < 1,t > 0[pic 6]
T(t) X(x)
Se requieren soluciones no triviales, por lo que X(x0) 6= 0 para algún x0 ∈ (0,1) y T(t0) 6= 0 para t0 > 0. En consecuencia, si ahora se escoge cualquier par (t,x) tal que
X(x) 6= 0 y T(t) 6= 0, se tiene:
T(t)0 X00(x)
= = λ (1.6)[pic 7]
T(t) X(x)
De este modo, se deduce que T(t) y X(x) satisfacen las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias:
T(t)0 + λT(t) = 0,t > 0 | (1.7) |
X(x)00 + λX(x) = 0,0 < x < 1 para una constante λ ∈ <. Resolviendo la ecuación (1.7) se obtiene: | (1.8) |
T(t) = Ce−λt | (1.9) |
para una constante C no nula ya que buscamos soluciones no triviales.
Ahora la solución de la ecuación (1.8) es una combinación lineal de dos funciones fundamentales, cuya forma depende del signo de λ. Más precisamente, el polinomio característico√ de (1.8) está dado por p(m) = m2 + λ, el cual tiene como raíces m1,2 = ± −λ ∈ C, luego:
√[pic 8]
[pic 9] Si λ < 0 entonces m1,2 = ± −λ ∈ <, la solución de (1.8) es:
√ [pic 10] √[pic 11]
X(x) = C1e −λx + C2e− −λx,C1,C2 ∈ <
[pic 12] Si λ = 0 entonces M = 0 es raíz de multiplicidad 2, y por lo tanto:
X(x) = C1 + C2x,C1,C2 ∈ <
√[pic 13]
[pic 14] Si λ > 0 entonces M1,2 = ±i λ
√ [pic 15] √
X(x) = C1 cos( λx) + C2 sin( λx),C1,C2 ∈ <.
√ √
Cuando λ 6= 0, y recordando que i λ = −λpodemos escribir lo anterior como:[pic 16]
√ √[pic 17]
X(x) = C1e −λx + C2e− −λx, (1.10)
...