Resonador de Helmholtz - Marco Teórico.

Marco Teórico

Un resonador de Helmholtz es un absortor que se basa en principios diferentes a los de los absortores porosos. Está compuesto por un tubo (cuyo extremo exterior está acoplado a una superficie lisa o rígida) y una cavidad unida al tubo. Bajo ciertas condiciones, el aire contenido en el resonador de Helmholtz se comporta como un sistema masa-resorte, similar a los sistemas mecánicos.

Así podemos establecer una analogía con los sistemas mecánicos de resorte-masa y sistemas eléctricos R-L-C serie.

Para ello será necesario definir las magnitudes excitadora y resultante del sistema acústico. Dado que el sonido es causa de fundamentalmente ondas de presión, la presión es la magnitud excitadora de cualquier sistema acústico. Esta presión causa que se muevan las partículas de fluido en el medio, causando con ello un caudal (o velocidad de volumen, según algunos autores), que es flujo de materia, el efecto en el sistema.

Podemos definir la impedancia acústica como:

[pic 1]

Donde:

[pic 2]

[pic 3]

[pic 4]

La cual, si es compleja podemos dividirla en:

[pic 5]

[pic 6]

[pic 7]

En el caso del resonador de Helmholtz, si las ondas de presión generan longitudes de onda menores a todas las dimensiones del resonador, el aire en el tubo se comporta como una masa de aire que se mueve como una unidad. Esta masa empujará el aire dentro de la cavidad, que se comportará como un resorte (en rigor como una compliancia).  Y el roce entre partículas conforma una resistencia, en la cual se disipa energía o potencia, y desde el punto de vista externo, se absorbe.

        Masa acústica

La masa acústica, al ser una masa de aire podemos considerar la 2ª ley de Newton para definirla, símil a la del sistema mecánico:

[pic 8]

[pic 9]

[pic 10]

[pic 11]

[pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

[pic 15]

[pic 16]

[pic 17]

[pic 18]

En el caso del resonador de Helmholtz, la masa del aire la calculamos como:

[pic 19]

Y definimos masa acústica de esta manera:

[pic 20]

Donde

[pic 21]

[pic 22]

Esta longitud efectiva se debe a que el volumen del aire que se comporta como masa acústica no está restringido al volumen contenido en el tubo, sino que lo sobrepasa, entonces se relaciona con las cantidades medibles mediante:

[pic 23]

[pic 24]

[pic 25]

Si la sección no es circular se toma como:

[pic 26]

[pic 27]

Finalmente la presión en el tubo es:

[pic 28]

        Compliancia Acústica

El resorte del sistema es en realidad una compliancia acústica, es decir, una cavidad de gas que puede comprimirse o expandirse sin desplazarse. Se da en general cuando hay una cavidad que tiene un pequeño orificio y está cerrada en cualquier otro extremo.

En este caso el comportamiento se ve desde la ley de compresión adiabática (se supone que las vibraciones son lo suficientemente grandes como para que no haya transmisión de calor en el proceso):

[pic 29]

Donde

[pic 30]

[pic 31]

[pic 32]

[pic 33]

Conviene considerar esta diferencia de volumen, como el volumen ingresado a la cavidad por el caudal:

[pic 34]

Entonces:

[pic 35]

[pic 36]

Una forma de la ecuación de onda en un gas es:

[pic 37]

Por tanto, el cuadrado de la velocidad del sonido:

[pic 38]

[pic 39]

Finalmente:

[pic 40]

Definimos entonces la compliancia acústica como:

[pic 41]

Entonces, la presión dentro de la cavidad es:

[pic 42]

        Resistencia Acústica

En esta ocasión, no obtendremos exactamente la fórmula que utilizamos, pero sí una dimensionalmente equivalente.

En general, la resistencia acústica es el resultado de la presencia de una fricción viscosa interpuesta en el recorrido de la onda sonora. Se da en general al angostarse un conducto, o al haber una malla de trama fina o material poroso interpuesto en el conducto.

En general, la resistencia acústica responde a la siguiente ecuación:

[pic 43]

En el resonador esto se da al cambiar la sección del exterior (mucho mayor que las dimensiones del resonador) al tubo y luego a la cavidad. Como el tubo es de diámetro muy pequeño (capilar) respecto a la longitud de onda, puede obtenerse la resistencia acústica por medio de la ley de Poiseuille, que proporciona el caudal obtenido cuando un fluido con coeficiente de viscosidad  circula por un conducto entre cuyos extremos hay una diferencia de presión. El valor de la resistencia acústica obtenida es:[pic 44]

[pic 45]

[pic 46]

[pic 47]

[pic 48]

El valor del coeficiente de viscosidad para el aire a  y  es .[pic 49][pic 50][pic 51]

Si el tubo no es muy estrecho, la fricción tiene importancia solamente en la denominada capa límite, es decir, una delgada película alrededor de la superficie interior del tubo. Fuera de la capa límite la onda es casi plana y por lo tanto no hay movimiento relativo entre capas deslizantes. El espesor  de la capa límite, que depende de la frecuencia, puede calcularse mediante la expresión:[pic 52]

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