Series de Potencia y Series de Frobenius
Enviado por Elias Ssyr • 20 de Abril de 2023 • Resúmenes • 1.162 Palabras (5 Páginas) • 38 Visitas
“Universidad Nacional Santiago Antúnez de Mayolo”[pic 1]
Series de Potencia y Series de Frobenius
Soriano Sal y Rosas Elías José
Ingeniería Industrial
Ecuaciones Diferenciales
Prof. Leiva Bernuy Rubén Mario
Miércoles 5 de abril del 2023
Huaraz- Peru
Series de Potencia
Las series de potencia son una expresión matemática que representa una función como una serie infinita de términos que involucran potencias crecientes de una variable (llamada variable independiente o variable de entrada) multiplicada por coeficientes constantes. Estas series son una herramienta importante en matemáticas, física, ingeniería y otras disciplinas que involucran la modelización y análisis de fenómenos y sistemas continuos.
La forma general de una serie de potencia es:
[pic 2]
Donde es una variable y los coeficientes son constantes, se conoce como serie de potencia.[pic 3][pic 4]
Es una serie de potencia centrada en [pic 5]
Una serie de potencia de la forma
[pic 6]
Es una serie de potencia centrada en [pic 7]
Convergencia de una serie de potencia
Considere la serie de potencia la serie satisface exactamente una de las siguientes propiedades:[pic 8]
La serie converge y diverge para todos .[pic 9][pic 10]
La serie converge para todos los números reales [pic 11]
Existe un número real tal que la serie converge si y diverge si |. En los valores donde , la serie puede converger o divergir.[pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16]
Definición de Radio de Convergencia
El radio de convergencia de una serie de potencia es el valor de x para el cual la serie converge absolutamente. Es un número real no negativo que puede ser finito o infinito.
El número R se llama radio de convergencia de la serie de potencias. En el caso
[pic 17]
[pic 18]
Definimos la función:
[pic 19]
El conjunto de puntos x ∈ R donde la serie converge se denomina campo de convergencia.
Ejemplos:
- La serie geométrica.
[pic 20]
Converge (absolutamente) si y solo si (con suma , como sabemos).[pic 21][pic 22]
- La serie.
[pic 23]
Converge si y solo si Si converge absolutamente.[pic 24][pic 25]
- La serie.
[pic 26]
Converge (absolutamente) si y solo si [pic 27]
- La serie.
[pic 28]
Converge si y solo si Si converge absolutamente.[pic 29][pic 30]
Formas de calcular el radio de convergencia de una serie de Potencias
Posibilidad 1:
[pic 31]
Posibilidad 2:
[pic 32]
EJERCICIOS
- Calcular el radio de convergencia de las siguientes series de potencia
[pic 33]
Solución
Primero identificamos los elementos de la SP
Una SP general tiene la forma
[pic 34]
[pic 35]
La SP (5) converge absolutamente en (5-R, 5+R) es decir en el intervalo (0.10)
- Calcular el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de la siguiente serie de potencia:
[pic 36]
Solución
= [pic 37][pic 38]
= = [pic 39][pic 40][pic 41]
El radio de convergencia es 7[pic 42]
[pic 43]
[pic 44]
Intervalo de convergencia es (-2,12)
[pic 45]
[pic 46]
- Calcular el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de la siguiente serie de potencia:
[pic 47]
Solución
= [pic 48][pic 49]
= [pic 50][pic 51]
= = [pic 52][pic 53][pic 54]
[pic 55]
[pic 56]
El radio de convergencia es 5
[pic 57]
Intervalo de convergencia es [pic 58]
[pic 59]
Derivación e integración de series de potencias
La suma de una serie de potencias es una función cuyo dominio es el intervalo de convergencia de la serie. Para ser capaces de derivar e integrar estas funciones, el siguiente teorema (el cual no será demostrado) establece que es posible hacerlo derivando o integrando cada uno de los términos de la serie, justo como se haría para un polinomio. [pic 60]
Esto se denomina derivación e integración término a término.
Si la serie de potencias posee un radio de convergencia[pic 61]
, entonces la función f definida por [pic 62][pic 63]
es derivable (y, por lo tanto, continua) en el intervalo y[pic 64]
- [pic 65]
- [pic 66]
Los radios de convergencia de la serie de potencias en las ecuaciones 1 y 2 son R
Ejemplos de Derivación de series de Potencias
- Exprese como una serie de potencias derivando la ecuación 1.[pic 67]
¿Cuál es el radio de convergencia?
Solución
Derivamos cada miembro de la ecuación
[pic 68]
Se obtiene
[pic 69]
Se podría reemplazar n por n+1 y escribir la respuesta como:
[pic 70]
El radio de convergencia [pic 71]
- Resolver la siguiente serie de Potencia
[pic 72]
Solución
[pic 73]
[pic 74]
[pic 75]
[pic 76]
[pic 77]
[pic 78]
[pic 79]
- Calcule la siguiente serie de potencia:
[pic 80]
Utilizamos la expresión del ejercicio anterior
...