TEMA I.- LAS FUNCIONES

TEMA I.- LAS FUNCIONES

1.1.- Definición.

¿ Ha escuchado usted alguna vez comentarios tales como”El éxito está en función del trabajo arduo” y “La demanda es una función del precio”? La palabra función se usa con frecuencia para indicar una relación o dependencia de una cantidad respecto de otra. En matemáticas el concepto de función tiene una interpretación semejante, pero ligeramente más especializada. Antes de dar una definición precisa, considérese un ejemplo que emplea la palabra función en un sentido más restrictivo.

Regla o correspondencia.

Una función es una regla, o una correspondencia, que relaciona dos conjuntos de tal manera que a cada elemento del primer conjunto corresponde uno y sólo un elemento del segundo conjunto. En otras palabras, una relación funcional es una relación univalente. Así, en el Ejemplo 1, un círculo de radio dado tiene un solo valor de área; en un instante determinado un niño puede tener solamente un valor de estatura, y así sucesivamente.

En otro ejemplo, supóngase que se pide a cuatro personas, primero, que escriban su nombre y edad; y después, que escriban su nombre y la marca de los autos que deseen poseer.

Pedro 25 años Pedro Ford, Porsche, Oldsmobile

Paco 28 años Paco Plymouth

Luis 36 años Luis VW

Juan 41 años Juan Chevrolet, Buick

La primera correspondencia es una función, puesto que hay solamente una edad asociada a cada nombre. La segunda correspondencia no es una función porque dos elementos del primer conjunto de nombres Pedro y Juan se asocian a más de una marca de automóvil.

Se resume la explicación anterior con una definición formal.

“Una función f desde un conjunto X hacia un conjunto Y es una regla que asigna a cada elemento “x” en X un elemento único “y” en Y. El conjunto “x” se llama dominio de f. El conjunto de elementos correspondientes “y” en Y se denomina contradominio, rango o ámbito de f.”

1.2.- Valor de una función.

Sea f una función. El número “y” del contradominio que corresponde a un número “x” escogido en el dominio es el valor en “x”, o la imagen de “x” en “y”, y se denota por f(x). Este símbolo se lee “f de x” o “f en x” y expresa que y = f(x). El valor de “y” depende de la elección de “x”, por lo que se le denomina variable dependiente; a x se le llama variable independiente.

Con frecuencia se definen funciones mediante una fórmula o ecuación.

Ejemplos.

1. La regla para elevar al cuadrado un número real x esta dada por la ecuación:

y = x2 o bien f(x) = x2.

Los valores de f en y , por ejemplo, se obtienen sustituyendo a su vez, x por -5 y .

Con el propósito de enfatizar, podría haberse escrito la función del ejemplo anterior, como

Lo anterior muestra que x es un poseedor del lugar de cualquier número en el dominio de la función. Así, si se desea evaluar la función en 3 + h, en donde h es un número real, se introduce 3 + h en el paréntesis:

“El dominio de una función f es el conjunto más grande de números reales para el cual la regla tiene sentido”.

Una función se compara a menudo con una computadora. La “entrada” x es transformada por la “máquina” f en la “salida” f(x)

2. Dada , encontrar: , , , , , , .

3. Dada , encontrar: , , , , , , .

4. Dada , encontrar: , , , .

5. Si , comprobar que (a) y (b)

6. Si , hallar

7. Sea . Evaluar (a) ; (b) ; (c) ; (d) ;

(e) ; (f) ; (g) ; (h) .

8. Si , hallar (a) ; (b) ; (c) . Además comprobar que y

9. Si , comprobar que

10. Si , comprobar que

Otros símbolos.

El uso de f o f(x) para representar una función es una notación natural. Sin embargo, en contextos diferentes de matemáticas, ciencias, ingeniería y administración, las funciones se denotan por símbolos como F, G, H, g h, p, q, y así sucesivamente. Letras diferentes como r, s, t, u, v, w, z se usan a menudo tanto para la variable independiente como para dependiente. Así, una función podría escribirse w = G(z) o bien v = h(t); por ejemplo, el área de un círculo es A = πr2.

Ejercicios.

1. Dado que , encuentre , , y .

2. Dado que , halle , , y .

En los problemas 3-6 encuentre y simplifique.

3. 4.

5. 6.

7. Suponiendo que encuentre , , y .

8. Suponiendo que encuentre , , y

En los ejercicios 9 y 10 encuentre cada uno de los siguientes valores: (a) , (b) ,

(c) , (d) , (e) , (f) .

9. 10.

11. Dada , hallar (a) ; (b) ; (c) ; (d) ; (e) .

12. Si ; Hallar (a) ; (b) ; (c) . Comprobar que y que .

13. Dada , encontrar: (a) ; (b) ; (c) ; (d) ;

(e) ; (f) ; (g) ; (h) , (i) ;

(j) .

14. Dada ; encontrar: (a) ; (b) ; (c) ; (d) ;

(e) .

1.3.- Tipos de funciones.

Función polinomial.

Recuerda que en álgebra a una expresión como x5 + 10x2 – 2x + 1 se le denomina polinomio de grado 5. por lo general, an ≠ 0

f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0,

en donde n es un entero no negativo, se dice que es una función polinomial (o polinómica) de grado n. Los coeficientes ai i = 0, 1, 2, ..., n son números reales. El dominio de toda función polinomial es el conjunto R de números reales. Son funciones polinómicas de grado 0, 1, 2, respectivamente.,

f(x) = a0, función constante,

f(x) = a1x + a0, a1 ≠ 0, función lineal, y

f(x) = a2x2 + a1x + a0, a2 ≠ 0, función cuadrática.

La grafica de una función constante es una recta horizontal, la grafica de una función lineal es una línea recta y la de una función cuadrática es una curva llamada parábola.

Ejemplos

1) La función f(x) = 4x5 + 8x3 es una función polinomial de grado cinco.

2) Las funciones f(x) = 3, f(x) = -5 y f(x) = 2, son funciones constante.

3) Las funciones f(x) =x – 1, f(x) = 3x + 4 y f(x) = -2x +1, son funciones lineales.

4) Las funciones f(x) = x2, f(x) = -x2 -1, f(x) = 2x2 +2, son funciones cuadráticas o parábolas.

Función racional.

Una función , en donde P y Q son funciones polinomiales, se llama función racional. El dominio de una función racional consiste en el conjunto de todos los números reales excepto aquellos para los que Q(x) = 0.

Ejemplo. , es una función racional. Como y para -1 y 4, el dominio de f es el conjunto de todos los números reales excepto -1 y 4.

Función potencia.

Una función , en donde k es constante y n un número real se llama función potencia, por ejemplo , , , son funciones potencia.

1.4.- Graficas de Funciones.

La gráfica de una función f es el conjunto de puntos: {(x, y) | y = f(x), x en el dominio f}

en el plano cartesiano. Como consecuencia de la definición de función, una función se caracteriza geométricamente por el hecho de que toda recta vertical que corta su grafica lo hace exactamente en un punto.

Otra definición. Se define la grafica de una función f como el conjunto de todos los puntos (x, f(x)) en un plano coordenado con x en el dominio de f. Las gráficas son muy útiles para describir el comportamiento de de f(x) cuando x varía. También se puede describir la gráfica de f como el conjunto de puntos P(x, y) tales que y = f(x) y si P(x, y) está sobre la gráfica de f, entonces la ordenada y es el valor de f en x.

Las siguientes figuras muestran las graficas de diversas funciones que con frecuencia se utilizan en el cálculo. Es una buena idea aprenderse la forma de estas gráficas para poder reconocerlas o esbozarlas cuando sea necesario. La primera de ellas nos presenta diversas posiciones de una función lineal (líneas rectas), la segunda muestra el comportamiento de una gráfica de una función de segundo grado (parábola), la tercera el comportamiento de una gráfica de una función cúbica (parábola cúbica), la cuarta el comportamiento de una función potencia (raíz cuadrada) y la ultima el comportamiento de una gráfica conocida con el nombre de asíntota.

Ejemplo 1.

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