Tendencia de una sucesión o una función

Límites:

Tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de la sucesión o función se acercan a determinado valor.

Tipos de límites:

Límites infinitos:

Cuando la función f(x) llega a valores que crecen continuamente cuando x se aproxima a un valor a, es decir que se puede hacer la función tan grande como queramos.

[pic 1]

Siempre que aparece un límite infinito, aparece una asíntota vertical.

Limites en el infinito:

Cuando una función tiende a un valor constante L cuando la variable x se hace tan grande, tanto en positivo como en negativo, como queramos. Entonces la función f(x) posee un límite en el infinito

Indeterminaciones del límite:

Una indeterminación es una operación cuyo resultado no está definido. Es habitual obtener este tipo de expresiones al intentar resolver límites, ya sean en un punto o en el infinito.

Indeterminación del tipo infinito sobre infinito:

Para ser salvada se deben dividir a cada uno de los términos del numerador y denominador por la variable de mayor grado. Luego se simplifican las variables.

Indeterminación del tipo cero sobre cero:

Para ser salvada se deben factorizar los polinomios del numerados y denominador, luego se simplifican las expresiones iguales.

Pendiente:

La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas.

La pendiente de una recta en un sistema de representación rectangular (de un plano cartesiano) está definida como la diferencia en el eje Y dividido por la diferencia en el eje X para dos puntos distintos en una recta. En la siguiente ecuación se describe:

[pic 2]

[pic 3]

La pendiente sería la tangente del ángulo teta que se forma.

Derivadas: La derivada es el resultado de un límite y representa el valor de la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto.

Es una nueva función que me dice la pendiente de la recta tangente a la curva original que derivo.

Se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño.

Qué pasa con la función valor absoluto y su derivada:

Se aplica la regla del valor absoluto:

[pic 4]

[pic 5]

Para qué nos sirve la derivada primera: Para hallar los intervalos donde la función crece o decrece.

Si la derivada primera de X sub 0 es mayor a cero, la función es creciente en x sub cero.

Si la derivada primera de X sub 0 es menor a cero, la función es decreciente en x sub cero.

TENER EN CUENTA: X sub 0 es un punto crítico de una función si la derivada primera de este es 0.

Para qué nos sirve la derivada segunda: Para determinar los mínimos y máximos locales que pueden existir en una función, donde se observa el cambio de signo, en un intervalo abierto señalado que contiene al punto crítico c.

Si la derivada segunda de X sub 0 es mayor a cero, X sub cero es un mínimo local de la función.

Si la derivada segunda de X sub 0 es menor a cero, X sub cero es un máximo local de la función.

Concavidad: Si la segunda derivada de X sub 0 es mayor a cero, la curva es cóncava hacia arriba en el punto X sub 0

Si la segunda derivada de X sub 0 es menor a cero, la curva es cóncava hacia abajo en el punto X sub 0

Punto de inflexión: Si la segunda derivada de c es igual a 0 y la tercer derivada de c es diferente de cero, en x que es igual a c hay un punto de inflexión.

Continuidad: La función es continua en el punto c si el límite de una función f de x cuando x tiende a c es igual a f de c

Discontinuidad: Discontinuidad de una función cuando ésta no es continua en un punto.

Una discontinuidad en matemática es un punto de una función f(x) en la cual la misma sufre un "salto" o cambio "brusco" de valor. Se verifica una discontinuidad cuando el valor de la función en un punto difiere del límite de esa función

Asíntotas: Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables (x o y) tienden al infinito.

Asíntota vertical: Y es igual a A es una ASÍNTOTA VERTICAL sí y solo sí el límite de una función de X cuando X tiende a A es igual a infinito positivo o negativo.

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