TEORIA DE CONJUNTOS

INTRODUCCION

La Teoría de Conjuntos es una parte muy importante de las Matemáticas. En la vida diaria utilizamos de modo intuitivo la Teoría de Conjuntos para definir, diferenciar, organizar, y relacionar elementos del entorno que nos circunda. Es así que podemos definir que: Un conjunto es la reunión o agrupación de elementos que poseen por lo general una característica común. Es esta característica la que determina que un elemento pertenezca o no a un conjunto. El descubrimiento de la teoría de conjuntos se debe al matemático alemán George Ferdinand Lwdwig Cantor (1845-1918)

En este trabajo profundizaremos este tema, iniciando con teoría, y luego poniendo en práctica cada operación que se va planteando cuando se presenta el tema de operaciones con conjuntos, para que con ayuda de la teoría antes expuesta se pueda llegar a la expresión del resultado.

CONJUNTO.

DEFINICIÓN:

Un conjunto es una colección o listado de objetos con características bien definidas que lo hace pertenecer a un grupo determinado. Entendiendo que dichos objetos pueden ser cualquier cosa: números, personas, letras, otros conjuntos, etc. Algunos ejemplos son:

• A es el conjunto de los números naturales menores que 5.

• B es el conjunto de los colores verde, blanco y rojo.

NOTACIÓN DE UN CONJUNTO:

A los conjuntos se les representa con letras mayúsculas A, B, C. y a los elementos de los conjuntos se denotan con letras minúsculas a, b, c. Es habitual usar llaves para escribir los elementos del mismo.

Un conjunto se puede determinar de dos maneras: por extensión y por compresión.

Determinación de un conjunto por extensión

Un conjunto está determinado por extensión cuando se escriben uno a uno todos sus elementos.

Los números menores que 5: A={1,2,3,4}.

Determinación por compresión

Un conjunto está determinado por compresión cuando solamente se menciona una característica común de todos los elementos.

El conjunto de vocales del abecedario: X={x: x es una vocal}.

CLASES.

CONJUNTO UNIVERSAL

Es un conjunto formado por todos los objetos de estudio en un contexto dado. Se denota habitualmente por U o V.

Ejemplos:

• En aritmética los objetos de estudio son los números naturales, por lo que el conjunto universal para este caso puede ser el conjunto de los números naturales N.

• Sean los conjuntos: A = { aves} B = { peces } C = { anfibios } D = {tigres}

Existe otro conjunto que incluye a los conjuntos A, B, C y D y es conjunto de todos los animales

U = {animales} Este sería el conjunto universal.

CONJUNTO VACIO.

El conjunto que no contiene ningún elemento se llama el conjunto vacío. Se denota por ∅ o simplemente {}.

Ejemplos:

• Conjunto de personas q viven en la luna

• Conjunto de perros que hablan

• Conjunto de peces que comen cocodrilos

CONJUNTO FINITO

Es un conjunto que tiene un número finito de elementos.

Ejemplos:

• A= {2, 4, 6, 8, 10} A es un conjunto finito con cinco elementos

• B= { Pablo, Rosana, Margarita, Gustavo, Juan, Maria} B es un conjunto finito con seis elementos.

CONJUNTO INFINITO

Es el que tiene un número ilimitado de elementos, es decir tiene un principio pero no tiene un fin.

Ejemplos:

• B {1, 3, 5, 7,..}

• X {0, 2, 4, 6,….}

SUBCONJUNTO

Es un conjunto de elementos que pertenecen a otro conjunto, es decir, podemos escoger ciertas características de algunos elementos del conjunto original. Se denota habitualmente por ⊆

Ejemplos:

• El «conjunto de todos los hombres» es un subconjunto del «conjunto de todas las personas».

• {2, 4, 6, ...} ⊆ {1, 2, 3, ..} = N ( {Números pares} ⊆ {Números naturales} )

OPERACIONES CON CONJUNTO.

Existen varias operaciones básicas que pueden realizarse para, partiendo de ciertos conjuntos dados, obtener nuevos conjuntos:

UNIÓN: (símbolo ∪) La unión de los conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos de A con todos los elementos de B sin repetir ninguno y se denota como A∪B.

Ejemplos:

Sean

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