Teoria De Numeros

PRESENTACION

En este presente trabajo trataremos de analizar y comprender sobre la teoría de números, que es fundamental en la vida cotidiana.

Los temas a desarrollarse para comprender mejor acerca de la teoría de números son:

Números naturales

Números enteros

Números racionales

Números irracionales

Números reales

La teoría de números es una abstracción muy aplicada en la vida cotidiana de los seres humanos, es por ello que trataremos de representarlo ampliamente en este trabajo. Y espero que el material sea compresible y que represente un beneficio para el lector.

El estudiante.

LOS NUMEOS NATURALES

La cantidad que desea contar la persona que se encuentra en la imagen, es un número natural, porque supongamos que cuenta 45 casas, el número 45 es un numero natural, caso contrario no se podría contar ½ casa o una casa y media.

Imagen 1.1

OBSERVACIÓN. Quiero contar la cantidad de personas en la siguiente imagen; entonces observo que es la misma cantidad que el número de estrellas y si cada estrella me representa la unidad; por lo tanto llego a la conclusión que hay 8 personas.

Definición:

Se llama sistemas de los números naturales al conjunto N= {a, b, c,………} provisto de dos operaciones binarias bien definidas:

Adición:

+: N x N N

(a, b) a+b

Multiplicacion:

: N x N N

(a, b) a.b

Y relación orden llamado menor o igual (≤) que satisface los siguientes axiomas:

ADICION

∀ a,b,c ∈N →(a+b)+c=a+(b+c)

+ = 4+6=10

∀ a,b,∈N →a+b=b+a

+ = + =10

∃!numero natural llamado cero el elemento neutro tal que

∀ a∈N→a+0=a

Observación.

En la siguiente imagen observo que tengo; cuaderno, computadora, cuadro, calculadora, etc. Y esa cantidad total de objetos lo adiciono 1 barco entiendo que mi resultado siempre será el cuaderno, computadora, cuadro, calculadora, etc.

Entonces llego a la conclusión que mi elemento neutro en la siguiente imagen es el barco fantasma.

∀ a,b,∈N ,a+b=a+c→b=c

MULTIPLICACION

∀ a,b,c ∈N →(ab)c=a(bc) …..asociativa

∀ a,b,∈N →ab=ba …..conmutativa

En la siguiente imagen se observa que cada muñeco tiene dos estrellas, entonces si Ud. Quiere obtener la cantidad objetos en la imagen simplemente hace la operación del producto.

Numero de numero de estrellas de

Muñeco * de cada muñeco.

6*2 = 2*6

Ojo: la operación también puede ser de forma transpuesta.

∃!numero natural llamado uno tal que

∀ a∈N→a∙1=a …..Elemento neutro.

En la siguiente ilustración se observa un jardín visto por sobre una puerta de vidrio que representa al elemento neutro del producto. En este caso el jardín nos representa el medio a la cual lo vamos a aplicar la operación de producto con su elemento neutro; y si Ud. Observas al jardín por sobre el vidrio no varía sus componentes ni su estructura inicial; por lo tanto la puerta de vidrio es el elemento neutro.

∀ a,b,∈N ,ac=bc→a=b ,c≠0

DISTRIBUTIVA

∀ a,b,c ∈N →a(b+c)=ab+ac

AXIOMA DEL BUEN ORDEN O PRINCIPIO DEL BUEN ORDEN

Si A es un subconjunto de números naturales no vacío, entonces existe un único elemento m∈A que resulta ser el mismo orden.

∀a∈A→m≤a

Observación:

Los números naturales con la suma y el producto forman una estructura algebraica llamado monoide o semigrupo.

PROPIEDADES

Teorema: ∀a∈N se cumple que:

a.0=0

Demostración:

a+0=a

a(a+0)=aa

aa+a0=aa

aa+a0=aa+0

a0=0

Teorema: dados los números naturales a y b

Si ab=0 →a=0 v b=0

Demostración: (por el absurdo)

Asumimos que a≠0 ⋀ b≠0

Si: a≠0 ⋀ b≠0→ab≠0

ab=0

∴a=0 v b=0

Teorema

La relación menor o igual en los N es una relación de orden.

a≤a ∀ a∈N (reflexiva)

si a≤b y b≤a →a=b (simétrica)

si a≤b y b≤c →a≤c (transitiva)

dados dos numeros naturales a y b

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