Teoria de conjuntos

1. TEORIA DE CONJUNTOS

1. DEFINICIONES

1. Conjunto
   Un conjunto es una lista, colección o clase de objetos bien definidos, estos pueden ser números, personas, letras, países, continentes, planetas, etc… se denota por medio de letras mayusculas ej: A, E, X, etc… y su simbolo para denotarlo es: { } Ej: A={…}
2. Elemento
   Los elementos son los objetos que conforman un conjunto estos se escriben dentro de las llaves { } en la definición del conjunto y los elementos se separan unos de otros por comas. En cuanto a la notación, en el caso de que los elementos sean letras, estas deben ser en minúsculas.
3. Enunciado de un conjunto en forma tabular y constructiva

1. Tabular

1. En esta forma se expresan los elementos dentro de las llaves { } del conjunto, separados por comas. No importa el orden ni es necesario repetir dos elementos iguales.

1. Constructiva

1. Concepto: En esta forma se expresa las condiciones necesarias para que el elemento x forme parte del conjunto, esta expresión de escribe dentro de las llaves del conjunto
   Ej. [pic 1]
2. Simbología

1. x, se usa para representar a cualquier elemento que forme parte del conjunto
2. |, se lee como “tal que” y seguido de él se expresan las condiciones necesarias para que el elemento forme parte del conjunto
3. v, se lee como “ó” y es un operador lógico para agregar más elementos que cumplan con la condición seguida del símbolo
4. ʌ, se lee como “y” y es un operador lógico para agregar condiciones a la condición anterior

1. Conjunto universo y Conjunto Vacío o Nulo

1. Universo
   Este conjunto contiene a todos los conjuntos en el ámbito de una aplicación y se denota por medio del símbolo U
2. Conjunto Vacío o Nulo
   Este conjunto es el conjunto que no tiene elementos y se denota por medio de la letra griega (phi) Φ Ej: [pic 2]

1. Cardinalidad
   La cardinalidad de un conjunto esta representada por la cantidad total de elementos que pertenecen al conjunto y se representa por medio del símbolo  donde n representa la cardinalidad o número de elementos contenidos dentro del conjunto y A representa al conjunto.[pic 3]
2. Conjunto Finito, conjunto Infinito

1. Finito
   Es un conjunto cuyos elementos se puedan determinar
   Ej: [pic 4]
2. Infinito
   Es un conjunto cuyos elementos no se pueden determinar
   Ej: [pic 5]

1. Conjuntos Iguales
   Un Conjunto es igual a otro cuando ambos contienen los mismos elementos y se denota por medio del símbolo = Ej: [pic 6]
2. Subconjunto y Subconjunto propio

1. Subconjunto
   Un conjunto A es subconjunto de B si todos los elementos de A son también elementos del conjunto B y se denota de la siguiente manera [pic 7]
2. Subconjunto propio
   Un conjunto A es subconjunto propio de B si todos los elementos de A son también elementos de B pero A y B no son iguales.

1. Conjuntos disjuntos
   Dos conjuntos son disjuntos si no tienen elementos comunes, es decir que ningún elemento de A esté en B ni ningún elemento de B esté en A
2. Conjuntos comparables
   Dos conjuntos A y B son comparables si uno es subconjunto del otro
    en este caso A y B son comparables
   Dos conjuntos A y B no son comparables si ninguno no es subconjunto del otro
   [pic 8][pic 9]
3. Conjunto potencia
   Es la familia de conjuntos de todos los subconjuntos que se pueden formar con los elementos de un conjunto A, incluyendo al propio conjunto A y al conjunto vacío y se denota como su cardinalidad se puede conocer por medio de la fórmula  donde n es la cantidad de elementos del conjunto A[pic 10][pic 11]
4. Diagrama lineal
   El diagrama lineal es una representación gráfica de las relaciones que existen entre los conjuntos.
   Por ejemplo para representar que  lo representamos de la siguiente forma [pic 13][pic 12]

1. Operaciones con conjuntos, definición y simbología

1. Unión
   La unión de los conjuntos A y B es un conjunto que contiene los elementos que pertenecen a A y los elementos que pertenecen a B y se denota como: [pic 14]
2. Intersección
   La interseccion de los conjuntos A y B es un conjunto que contiene los elementos que estan tanto en A como en B y se denota como [pic 15]
3. Diferencia
   La diferencia de los conjuntos A y B es un conjunto que contiene los elementos que pertenecen a A pero que no pertenecen a B y se denota como: [pic 16]
4. Complemento
   El complemento de un conjunto A representa a todos los elementos que pertenecen al conjunto universo pero que no pertenecen a A y se denota como: [pic 17]
5. Conjunto producto
   Se llama conjunto producto de A y B al conjunto de todos los pares ordenados  con  y se denota como: [pic 18][pic 19][pic 20]

1. Conjuntos de números, definición y simbología.

1. Conjunto de los números reales
   El conjunto de los numeros reales se representa mediante el siguiente conjunto: [pic 21]
2. Conjunto de los números enteros
   El conjunto de los numeros enteros se representa mediante el siguiente conjunto: [pic 22]
3. Conjunto de los números racionales
   El conjunto de los numeros racionales se representa mediante el siguiente conjunto: [pic 23]
4. Conjunto de los números Irracionales
5. El conjunto de los numeros irracionales se representa mediante el siguiente conjunto: [pic 24]
6. Conjunto de los números naturales
   El conjunto de los numeros naturales se representa mediante el siguiente conjunto: [pic 25]
7. Conjunto de los números primos
   El conjunto de los numeros racionales se representa mediante el siguiente conjunto: [pic 26]

1. Desigualdades y sus propiedades, definición y simbología
   A los símbolos  se les llaman signos de desigualdad, se puede utilizar también los símbolos  que se leen como “menor o igual que” y “mayor o igual que” respectivamente[pic 27][pic 28]

1. Menor que
   Se dice que  si  es positivo[pic 29][pic 30]
2. Mayor que
   Se dice que  si  es positivo[pic 31][pic 32]

Valor absoluto, definición y simbología
El valor absoluto de un número real x se denota por  y se define como
[pic 33][pic 34]

1. Intervalos

1. Definición y simbología
   El intervalo, en matemáticas, es un subconjunto de números reales que se encuentran entre dos valores que delimitan un extremo inferior y/u otro superior. Existen los siguientes tipos te intervalos:

1. Intervalo abierto: cuando no se incluyen los extremos y se representa de la siguiente manera: [pic 35]
2. Intervalo cerrado: cuando sí se incluyen los extremos y se representa de la siguiente manera: [pic 36]
3. Intervalo mixto: cuando sí se incluye alguno de los extremos y se representa de la siguiente manera:  ó [pic 37][pic 38]

1. Propiedades

1. La intersección de dos intervalos es un intervalo
2. La unión de dos intervalos no disjuntos es un intervalo
3. La diferencia de dos intervalos no comparables es un intervalo

1. Leyes de los conjuntos
   [pic 39]

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