TEORÍA DE CONJUNTOS

TEMA:

TEORÍA DE CONJUNTOS.

Introducción

La teoría de conjuntos es una parte de las matemáticas que tiene un objeto de estudio propio; con métodos propios, con ciertas relaciones con otras teorías matemáticas, en particular, con todas las teorías matemáticas tradicionales y a partir de sus principios se mantiene la existencia, estructura y relaciones mutuas entre ellos.

Concepto de conjunto

Se llama conjunto a toda agrupación, colección o reunión de individuos (cosas, animales, personas o números) bien definidos que cumplen una propiedad determinada.

A los objetos del conjunto se denominan “elementos del conjunto”.

• Ejemplo de conjuntos
  La colección de letras de la palabra “murciélago”.
• La agrupación de números naturales menores que

Notación de conjuntos

[pic 1]

Ejemplo: Utilice la notación correcta para escribir los conjuntos dados en el ejemplo anterior.

             A= La colección de letras de la palabra “murciélago”

           B= La agrupación de números naturales menores que

Determinación de conjuntos

La determinación (valor) de un conjunto corresponde a la manera como éste puede expresarse. Para determinar un conjunto se utilizan dos formas: determinación por extensión y la determinación por comprensión.

Determinación de conjuntos por extensión

Un conjunto se determina por extensión cuando se enumeran o se nombran los elementos del conjunto.

Ejemplo: Determine por extensión los conjuntos del ejemplo anterior.

A= {m, u, r, c, i, e, l, a, g, o}

B= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Determinación de conjuntos por comprensión.

Un conjunto se determina por comprensión enunciando la propiedad o cualidad que distingue a los elementos. Para tal fin se utiliza lo siguiente:
{x/x cumple la propiedad},
que se lee: el conjunto de las x tal que x cumple la propiedad

Ejemplo: Determine por comprensión los conjuntos del ejemplo anterior.

A= {x/ x es una letra de la palabra “murciélago”}

B= {x/ x es un número natural menor que 10}

Cardinal de un conjunto.

¿Cuál es el cardinal de un conjunto?

Un número cardinal o cardinal es una generalización de los números naturales para contar el número de elementos, la cardinalidad, de cualquier conjunto, finito o infinito. El cardinal de un conjunto finito es un número natural ordinario.

[pic 2]

Proyectar video de YouTube.

1. https://www.youtube.com/watch?v=NHpQ-3fPKOc

Cardinalidad de conjuntos

1. https://www.youtube.com/watch?v=EnEUwRc4j3A

Problemas de cardinalidad de 3 conjuntos - Logos Academy

Clases de conjuntos.

1. Conjunto unitario.

El conjunto unitario es aquel solamente tiene un elemento.

Ejemplo:

1. A= {x/x es un pontífice entre los años 1985 y 2005} = {Juan Pablo II}
2. B= {x∈N / x2–4=0} = {2} son unitarios.
3. El presidente actual
4. G = {0}
5. R = {a  /3<a<5}[pic 3][pic 4]

1. Conjunto vacío.

Existe un conjunto especial denominado “conjunto vacío” o “conjunto nulo” y algunos definen como un conjunto sin elementos.

[pic 5]

Ejemplo

1. A = {Un hombre con 3 ojos}
2. G = {  }

1. Conjunto universal.

Es el conjunto que contiene, comprende o dentro del cual están todos los demás conjuntos., y se le simboliza U.

Ejemplo:

E = {mujeres} F = {hombres}

El conjunto que incluirá a los conjuntos E y F, que sería el conjunto U:

U = {seres humanos}

Otro ejemplo:
Sean los conjuntos:
A = {aves} B = {peces} C = {gatos} D = {perros}

Uniendo los tres conjuntos A, B, C y D resulta el conjunto U.

U = {animales}

Gráficamente se puede representar por un rectángulo tal como podemos ver a continuación.

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1. Conjunto finito.

Es aquel conjunto cuya cantidad de elemento se puede contar; es decir, es aquel conjunto en que sus elementos se pueden nombrar o enumerar. 

Ejemplo: 

A= {x/x es un número entero mayor o igual que -3 y menor que 5}. Este conjunto está formado por 8 elementos.

En efecto, A= {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,4}

Otros ejemplos.

A = {números entre 1 y 10}

B = {hojas del cuaderno}.

G = {el número de dedos}

1. Conjunto infinito.

Es aquel conjunto cuya cantidad de elemento no se puede contar; es decir, es aquel conjunto en que sus elementos no se pueden nombrar o enumerar.

Ejemplos :

[pic 7]

Ejemplo:

1.  Los puntos de una recta
2. Números enteros > 100

1. Conjunto potencia.

Un conjunto potencia es el conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto

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Relaciones entre conjuntos,

Inclusión (). - cuando todos los elementos del primero forman parte del segundo conjunto, [pic 9]

¿Qué es la inclusión de conjuntos?

Inclusión de conjuntos: Se dice que el conjunto A es parte del conjunto B o que está incluido en B, si todos los elementos de A están en B. Se le denota como “A B” que se lee: “A incluido en B”. ... En estos dos conjuntos podemos notar que todos los elementos de A pertenecen también a B.[pic 10]

Ejemplo de inclusión.

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ejemplos.

A = {todos los gatos}

B = {todos los mamíferos}

D = {1, 2, 3}  ;   G = {0, 2, 4, 6}

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Propiedades

1) Reflexiva.- para todo conjunto A se cumple que todo conjunto está incluido a sí mismo (Satupled, 2009).

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2) Asimétrica.- para todo conjunto A y B se cumple que si A está incluido en B (Satupled, 2009)

[pic 14]

3) Transitiva.

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Si se cumple las 3 propiedades se dice que existe una relación de orden.Si al comparar dos conjuntos y estos no se incluyen entre A y B en este caso se dice que los dos conjuntos no son comparables

Igualdad. - cuando ambos poseen los mismos elementos.

 ejemplos.

A = {3n+2/  }[pic 16]

B = {5, 8, 11, 14}

[pic 17]

Propiedades

1. [pic 18]
2. [pic 19]
3. [pic 20]

Comparables. - cuando por lo menos alguno de ellos está incluido en el otro.

¿Cuándo un conjunto es comparable?

Dos conjuntos A y B son comparables si y sólo si A  B o B ÌA. Es decir, cuando uno de los conjuntos está incluido en el otro. ... Se dice que dos conjuntos son comparables cuando sólo uno de ellos está incluido en el otro.[pic 21][pic 22]

Disjuntos.- cuando no poseen ningún elemento común.

Ejemplo:

A = {x/x es una mujer}

B = {x/x es un hombre}

Operaciones entre Conjuntos

1. Unión .- es aquel conjunto que tiene como elementos a aquellos que pertenecen al conjunto A, al conjunto B o a ambos.[pic 23]

[pic 24]

Diagramas:

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1. Intersección .- es aquel conjunto que tiene como elementos a aquellos que pertenecen simultáneamente a A y B.[pic 26]

[pic 27]

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Diagramas

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1. Diferencia .- es aquel conjunto cuyos elementos pertenecen a “A” pero no al conjunto “B”.[pic 30][pic 29]

Diagramas

[pic 31]

1. Diferencia simétrica .- es aquel conjunto que toma como elementos a aquellos que pertenecen al conjunto  pero no al conjunto .[pic 32][pic 33][pic 34]

[pic 35]

Diagramas

[pic 36]

1. Complemento (), (Ac), ().-es aquel conjunto cuyos elementos pertenecen al universo pero no al conjunto A.[pic 37][pic 38]

Diagramas

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