Teoría de Conjuntos
Enviado por jhoandavid sanchezrodriguez • 21 de Noviembre de 2022 • Apuntes • 2.479 Palabras (10 Páginas) • 63 Visitas
Teoría de conjuntos:
Esta teoría se originó entre 1874 y 1897, gracias al matemático Georg Cantor, quien definió el conjunto como “una colección en un todo de determinantes y distintos objetos de nuestra percepción o nuestro pensamiento, llamados los elementos del conjunto”, esta definición fue admirada y condenada al mismo tiempo, y en 1903 el matemático y filosofo B. Russell cuestiona dicha definición y muestra su inconsistencia. Luego aparece la teoría axiomática de Zermelo en 1908, y la refinación de esta gracias a fraenkel en 1922, Skolem en 1923, Von Newman en 1925 y otros, para así establecer las bases de la teoría de conjuntos actual.
La teoría de conjuntos busca estudiar los distintos tipos de conjuntos y sus propiedades, las operaciones que se pueden realizar entre ellos, como también la forma de expresar la pertenencia de un elemento a dicho conjunto, además de mostrar que existen infinitos más grandes que otros. El estudio de estos es de gran importancia ya que todas las teorías matemáticas se pueden expresar en términos de conjuntos, y sus principales operaciones son la base de nuevas teorías.
La importancia de leer este glosario radica en la facilidad de comprensión de cada una de las definiciones más básicas de la teoría de conjuntos y sus operaciones elementales que se expresan a lo largo de este, para que, una vez comprendidas se facilite entender las propiedades y sus demostraciones, y afiance las bases para lograr la demostración de distintos teoremas y silogismos categóricos mediante la utilización de definiciones y propiedades de conjuntos como también de algebra booleana.
El glosario está dividido en diez entradas organizadas alfabéticamente, mostrando las definiciones más básicas y sus operaciones elementales, iniciando con la definición de conjunto y concluyendo con la definición de unión e intersección de conjuntos, y es producto de la investigación de distintas fuentes como: la teoría de conjuntos de Antonia huertas sanchez y maría manzano Arjona, y el libro fundamentos de las matemáticas.
Conjunto:
Un conjunto es una colección de objetos diferentes, que pueden ser números, colores, símbolos, letras entre otros, además, los objetos que pertenecen al conjunto son miembro de este y se denota con la expresión x S (x pertenece a S), donde x es el elemento y S el conjunto. los conjuntos pueden contener una baja cantidad de elementos o una infinidad de ellos y se pueden expresar de dos formas, una por extensión y la otra por comprensión. La primera consiste en escribir cada uno de los elementos que este contempla, y se da cuando la cantidad de elementos que posee el conjunto es baja y por ende se facilita escribirlo. Por ejemplo, el conjunto formado por los menores o iguales que 10, se escribe , donde S es el conjunto y los números son sus elementos. [pic 1][pic 2][pic 3]
No obstante, la segunda consiste en dar una propiedad tal que los elementos de dicho conjunto sean los únicos en cumplirla, y esta se produce cuando la cantidad de elementos del conjunto son demasiados para escribirlos o son infinitos. Por ejemplo, el conjunto formado por los números impares se denota como el conjunto puesto que son infinitos. Cabe resaltar que los elementos se deben escribir dentro de llaves para identificar que se está hablando de un conjunto.[pic 4]
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Conjunto potencia:
El conjunto potencia es el conjunto formado por las partes de otro conjunto, es decir, consiste en reunir en un conjunto todos los subconjuntos que se pueden formar de otro, y se denota, donde X es un conjunto cualquiera, además, una forma de saber cuántos elementos posee el conjunto potencia, consiste en elevar el 2 según la cantidad de elementos que posea el conjunto, es decir, si el conjunto , el conjunto tendrá elementos y esto es igual a 256 elementos, dado que “todo conjunto X con n elementos, P(x) tiene exactamente elementos” . Por ejemplo, supongamos que tenemos un conjunto , se evidencia que C posee dos elementos 1 y 2, el conjunto potencia en este caso quedaría de la siguiente manera , así, se puede evidenciar que el conjunto potencia está formado por los subconjuntos de C y además por , dado que vacío es subconjunto de cualquier conjunto. Igualmente cabe resaltar que se puede hallar el conjunto potencia de un conjunto potencia, este consiste en hallar los subconjuntos de los subconjuntos de un conjunto, por ejemplo, si el conjunto , entonces el , por lo dicho anteriormente, y el conjunto de , ya que, se toman los conjuntos contenidos en , como elementos de este, y se hallan sus subconjuntos. (Uzcátegui Aylwin, 2019, página 57)[pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17][pic 18]
Conjunto universal y complemento de un conjunto:
el conjunto universal o “U” es aquel que contiene todos los elementos de uno o más conjuntos, sin embargo, puede contener otros fuera de estos dependiendo del contexto. Por ejemplo, si tomamos un conjunto, A= {2,4,6,8,10}, el conjunto universal de este es igual a los números naturales mayores que cero y menores o iguales que 10, es decir, (), sin embargo, también puede ser el conjunto formado por todos los naturales. Otro ejemplo es el conjunto A formado por los números naturales impares y el conjunto B formado por todos los números naturales pares, en este caso el conjunto universal sería el conjunto formado por todos los , es decir (.[pic 19][pic 20][pic 21]
Por otra parte, el complementó de un conjunto X es equivalente a su negación, es decir, el complemento es aquel que contiene todos los elementos que le faltan al conjunto X para llegar a ser igual al universal y se denota con la expresión , donde X es un conjunto cualquiera. Por ejemplo, el conjunto A= {, para este caso el complemento es igual a todos los números naturales pares es decir , siempre y cuando, el conjunto .[pic 22][pic 23][pic 24][pic 25]
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Cuantificadores:
Para enunciar las relaciones entre conjuntos es necesario hacer uso de dos cuantificadores dado que, los conectores de la lógica proposicional vendrían siendo insuficientes. estos son, el cuantificador universal o para todo y el existencial, que se escriben respectivamente. El primero se utiliza para enunciar relaciones de subconjunto, es decir, si Y es subconjunto de B implica que para todo x, tal que x pertenezca a Y, x también pertenece a B, y se escribe , igualmente se utiliza para enunciar igualdades, dado que si A es igual a B implica que para todo x, x pertenece a A si y solo si x pertenece a B es decir , además se utiliza para enunciar relaciones de intersección de conjuntos cuando esta es vacía, es decir si A intersección B es igual a vacío implica que para todo x, x no pertenece a A o x no pertenece a B, y se escribe de la siguiente manera (.[pic 27][pic 28][pic 29][pic 30]
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