Trabajo: Espacios vectoriales y euclídeo
Enviado por Thierry Otero • 30 de Diciembre de 2022 • Tareas • 1.398 Palabras (6 Páginas) • 33 Visitas
Asignatura | Datos del alumno | Fecha |
Matemáticas i | Apellidos: |
|
Nombre: |
Actividades[pic 1]
Trabajo: Espacios vectoriales y euclídeos
Descripción
Los ejercicios deben de ser resueltos de manera argumentada, es decir, debe quedar indicado el procedimiento de resolución. No contará si el alumno únicamente indica la solución del ejercicio sin explicar cómo ha llegado a dicha solución.
1. Dadas las bases de :[pic 2]
- [pic 3]
- [pic 4]
Encontrar la matriz de cambio de base de en . ¿Cuáles son las coordenadas del vector en la base [pic 5][pic 6][pic 7][pic 8]
2. Dependencia e independencia lineal.
- Sean los vectores en dados por:[pic 9]
[pic 10]
¿Qué condición deben verificar y de forma que estos vectores sean linealmente independientes?[pic 11][pic 12]
- Dado el vector . Expresar como combinación lineal de los vectores y ¿Se podría expresar de dos formas distintas? Justifica tu respuesta.[pic 13][pic 14][pic 15][pic 16]
- Busca cuatro vectores en de manera que el primero pueda ser expresado de dos maneras distintas como una combinación lineal de los otros tres. ¿Qué podemos decir del conjunto de los tres vectores?[pic 17]
3. Demostrar que el conjunto: es un subespacio vectorial de , y encontrar su dimensión y una base. [pic 18][pic 19]
Sea . Obtener la dimensión y una base de los subespacios y . ¿Es un subespacio vectorial de ? Justifica tu respuesta.[pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24]
4. Sea la matriz:
[pic 25]
- Comprueba que tiene columnas ortogonales.[pic 26]
- Construye la matriz añadiendo el vector como última columna de . Aplica el proceso de Gram-Schmidt a las columnas de para ortonormalizarlas. [pic 27][pic 28][pic 29][pic 30]
- Forma la matriz con las columnas de ortonormales y comprueba que es una matriz ortogonal, es decir, .[pic 31][pic 32][pic 33][pic 34]
- Calcula las coordenadas del vector en la base de formada por las columnas de .[pic 35][pic 36][pic 37]
Se puede usar Sage para realizar los cálculos siempre que se adjunte una captura de pantalla de los cálculos hechos con Sage.
1. Dadas las bases de :[pic 38]
[pic 39]
[pic 40]
Encontrar la matriz de cambio de base de en . [pic 41][pic 42]
¿Cuáles son las coordenadas del vector en la base [pic 43][pic 44]
[pic 45] |
[pic 46] |
Calculamos la matriz inversa de [pic 47]
[pic 48]
Multiplicamos fila 1 por -1 y la sumamos fila 3;[pic 49]
Multiplicamos fila 2 por -1 y la sumamos fila 3; [pic 51][pic 50]
Dividimos fila 3 entre 2;[pic 53][pic 52]
[pic 54]
[pic 55]
Con estos cálculos tenemos la actriz inversa de :[pic 56]
[pic 57]
Calculamos las coordenadas del vector de :[pic 58]
[pic 59]
[pic 60] |
=[pic 61]
Comenzamos por calcular la matriz [pic 62]
== [pic 63][pic 64][pic 65]
Ahora calculamos por el resultado anterior:[pic 66]
=== [pic 67][pic 68][pic 69]
[pic 70]
Las coordenadas del vector en la base [pic 71][pic 72]
2. Dependencia e independencia lineal.
Sean los vectores en dados por:[pic 73]
[pic 74]
¿Qué condición deben verificar y de forma que estos vectores sean linealmente independientes?[pic 75][pic 76]
Multiplicamos fila 1 por -1 sumamos fila 2;[pic 77]
Multiplicamos fila 1 por sumamos fila 3;[pic 78][pic 79]
Multiplicamos fila 1 por sumamos fila 4;[pic 80][pic 81]
Multiplicamos fila 4 por -1 sumamos fila 4;[pic 82]
Multiplicamos fila 3 por - sumamos fila 4[pic 83][pic 84]
[pic 85]
[pic 86]
[pic 87]
[pic 88]
En la ecuación anterior vamos sustituyendo los valores de “a”:
=[pic 89]
=[pic 90]
[pic 91]
Sustituimos a:0
== 0 [pic 92][pic 93][pic 94][pic 95]
Sustituimos a:2[pic 96]
== [pic 97][pic 98][pic 99][pic 100][pic 101]
Sustituimos a:3
== [pic 102][pic 103][pic 104][pic 105][pic 106]
...