Transformada de Laplace. Algunas de las ventajas

 Transformada de Laplace

Introducción

En la historia de las matemáticas se encuentra la transformada de Laplace en el marco de los circuitos eléctricos dentro de los trabajos de Oliver Heaviside [1949] con una representación diferente a la que se maneja en los días presentes. Después de constituirse como una herramienta de trabajo para resolver ecuaciones diferenciales, se ha vinculado con otras áreas de la ingeniería.

Aunque la transformada de Laplace puede usarse para resolver ecuaciones diferenciales parciales y ordinarias; aquí sólo se estudiará su aplicación a la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias.

Algunas de las ventajas que tiene este método sobre otros  son que:

• Transforma  ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas
• La obtención de las soluciones del estado transitorio  y del estado permanente de un sistema, así como la  consideración de las condiciones iniciales, forman parte  de un mismo procedimiento
• Permite resolver ecuaciones integrodiferenciales
• El uso de tablas de transformada de Laplace puede reducir la labor de obtener las soluciones, de la misma forma que las tablas de integrales reducen la labor de integración
• La función de excitación (o término no-homogéneo de la ecuación) puede ser una función que contenga algunas discontinuidades

Adicionalmente, en el estudio de sistemas, la transformada de Laplace es  un concepto fundamental en la definición de su Función de transferencia; y en el contexto de la Teoría de Circuitos, la transformada de Laplace permite describir un circuito en el dominio de Laplace en donde cada componente puede ser tratada como una resistencia pura.

Para poder apreciar y aprovechar esta herramienta es necesario que se conozca su definición así como algunas de sus propiedades.

La transformada de Laplace de una función f(t) se define como:

L {f(t)}  = F(s) =   [pic 1]        

en donde s = σ + i ω .

En el caso que la integral impropia de la definición anterior converja, se obtiene una función que depende de s; es decir, la transformada de Laplace de una función f(t) es otra función F(s).

La definición de “s “ amerita una breve explicación.

En el análisis de Fourier se define la transformada de Fourier de una función f(t) como:

        [pic 2]= F(w)

 que proporciona una función que depende de w, en el caso de que la integral converja.

Una de las aplicaciones de la transformada de Fourier  es el estudio de señales, en donde f(t) representa una señal en el tiempo y F(w)  es la señal en el dominio de la frecuencia.

Sin embargo para muchas funciones de interés, la transformada de Fourier no existe ya que la integral que la define, diverge.  En este caso, lo que se hace es multiplicar a f(t) por un factor de convergencia exponencial y calcular la transformada de Fourier del producto.  Para funciones que valen cero para t < 0,  un factor  apropiado es e -σt , donde σ es positiva . En este caso la transformada de Fourier del producto es

[pic 3] 

 La última expresión es la que define la transformada de Laplace

Así  L {f(t)}  = F(s) =F(σ + i ω)  y  se dirá que mediante la transformada de Laplace nos moveremos del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia. A σ se le llama abscisa de convergencia

Al calcular la transformada de Laplace de alguna función f(t), siempre se supondrá que la función vale cero para t < 0.

Ejemplo 1. Calcular la transformada de Laplace de las siguientes funciones.

a) f(t) = 1                

L {1} =[pic 4]

       =   [pic 5]

b) g(t) = sen (at)

L {sen(at)} = [pic 6]

                  =[pic 7]

               L {sen(at)} =  [pic 8]

c) h(t) = eat

L {eat} = [pic 9]

          =[pic 10]

Observe que la convergencia de cada una de las integrales anteriores se obtiene imponiendo alguna condición sobre σ, que es la parte real de s, por esta razón se le llama abscisa de convergencia. Este aspecto será importante cuando se traten las condiciones de existencia de la Transformada de Laplace de una función.

Como en general, la condición de convergencia de la integral involucra sólo la parte real de s,  la mayoría de las veces se considera a “s” como un parámetro real. Tomando en cuenta esta consideración se calculará L {t}

L {t} = [pic 11]

A continuación se detalla el cálculo del primer límite que aparece en la expresión anterior

[pic 12]

Por lo tanto L {t} = [pic 13]  si  s > 0

A partir de las transformadas obtenidas en el ejemplo 1, se puede escribir que:

L {e2t} =[pic 14];        L {e-t} = [pic 15];         L {sen(3t)} = [pic 16] 

Las funciones cuyas transformadas se han calculado hasta aquí, las puede encontrar en la tabla de transformadas de Laplace que se anexan a estas notas; sin embargo, existen funciones definidas por pedazos, también llamadas seccionalmente  continuas o definidas por trozos, cuya transformadas se calculan a partir de la definición o con otra herramienta que posteriormente se dará. Vemos algunos ejemplos de tales funciones:

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