Trigonometria

Contenido

Geometría 2

Trigonometría esferica 2

Superficie esférica 3

Elementos de la esfera 3

Triangulo esferico 4

Propiedades de los triángulos esféricos. 6

Triángulo Polar 7

Ángulo diedro 8

Ángulo triedro 8

Geometría

En geometría, una esfera es un cuerpo geométrico limitado por una superficie curva cerrada cuyos puntos equidistan de otro interior llamado centro de la esfera.

La esfera, como sólido de revolución, se genera haciendo girar una superficie semicircular alrededor de su diámetro (Euclides, L. XI, def. 14).

Esfera proviene del término griego σφαῖρα, sphaîra, que significa pelota (para jugar).Coloquialmente hablado, se emplean palabras como bola, globo (globo terrestre), etc., para describir un volumen esférico.

Trigonometría esférica

La trigonometría esférica es la parte de la geometría esférica que estudia los polígonos que se forman sobre la superficie de la esfera, en especial, los triángulos. La resolución de triángulos esféricos tiene especial relevancia en astronomía náutica y navegación para determinar la posición de un buque en altamar mediante la observación de los astros.

Superficie esférica

Es la superficie engendrada por una circunferencia que gira sobre su diámetro.

Esfera

Es la región del espacio que se encuentra en el interior de una superficie esférica.

Elementos de la esfera

Centro

Punto interior que equidista de cualquier punto de la esfera.

Radio

Distancia del centro a un punto de la esfera.

Cuerda

Segmento que une dos puntos de la superficie.

Diámetro

Cuerda que pasa por el centro.

Polos

Son los puntos del eje de giro que quedan sobre la superficie esférica.

Circunferencias en una esfera

Paralelos

Circunferencias obtenidas al cortar la superficie esférica con planos perpendiculares al eje de revolución.

Ecuador

Circunferencia obtenida al cortar la superficie esférica con el plano perpendicular al eje de revolución que contiene al centro de la esfera.

Meridianos

Circunferencias obtenidas al cortar la superficie esférica con planos que contienen el eje de revolución.

Triangulo esferico

Un triángulo esférico es la región de superficie esférica limitada por tres arcos de circunferencia máxima que se cortan dos a dos. Los arcos son los lados del triángulo esférico, y los vértices de los tres ángulos esféricos son los vértices del triángulo esférico. (fig. 1.3).Cuando se unen los vértices de un triángulo esférico con el centro de la esfera, se obtiene un triedro. Podemos, entonces, dar otra definición de triángulo esférico: Es la intersección de la esfera con las tres caras del triedro.

Los tres arcos AB, BC y CA del triángulo ABC llamados lados del triángulo se designan por c, a, y b, respectivamente; su medida, es por tanto la de los ángulos de las caras del triedro. Los tres puntos A, B, y C de intersección de las aristas del triedro con la esfera son los vértices o ángulos del triángulo esférico y su medida es la misma que la de los diedros del triedro, OA, OB, y OC. Según esto, a cada propiedad de los ángulos triedros corresponde una propiedad análoga de los triángulos esféricos, y recíprocamente. Es evidente que los ángulos de las caras y los ángulos diedros de un ángulo triedro no se alteran en magnitud variando el radio de la esfera; por tanto, las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo esférico son independientes de la longitud del radio. Los lados de un triángulo esférico, siendo arcos, son expresados normalmente en unidad son angulares, grados o radianes. Si se desea conocer la dimensión lineal de un lado, será necesario saber el radio de la esfera correspondiente al triángulo. En la práctica la longitud de un lado (arco) puede hallarse en función de cualquier unidad lineal.

Si tres puntos de la superficie esférica son unidos por arcos de círculo máximo menores a 180º, la figura obtenida se denomina triángulo esférico. Los lados del polígono así formado se expresan por conveniencia como ángulos cuyo vértice es el centro de la esfera y no por su longitud. Este arco medido en radianes y multiplicado por el radio de la esfera es la longitud del arco. En un triángulo esférico los ángulos cumplen que: 180° < A + B + C < 540°.

Figura cerrada, de tres lados, sobre la superficie de una esfera, que está delimitada por la intersección de arcos menores de tres círculos mayores. Tres círculos mayores distintos pueden formar ocho triángulos. Sólo el único formado por tres arcos menores se conoce como triángulo esférico.

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