TRIGONOMETRIA

Desigualdad triangular

Desigualdad del triángulo.

La desigualdad del triángulo es un teorema de geometría euclidiana que establece:

En todo triángulo la suma de las longitudes de dos lados cualquiera es siempre mayor a la longitud del lado restante. 1

Este resultado ha sido generalizado a otros contextos más sofisticados como espacios vectoriales. Definido matemáticamente, cualquier triángulo cumple la siguiente propiedad:

donde a, b y c son los lados

9. REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS

El nº complejo puede representarse geométricamente con respecto a un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares en el plano, por el punto , con lo que se establece biyección entre los números complejos y los puntos del plano euclídeo.

Al punto se le llama afijo del complejo

Cuando el plano se utiliza para representar números complejos, se le designa por plano complejo o plano .

Al eje de las x se le llama eje real y al eje de las y se le llama eje imaginario.

La representación de los números complejos en el plano recibe el nombre de diagrama de Argand.

Al complejo se le designa así como punto o también como vector , un vector con origen el de coordenadas y extremo el punto , y cualquiera obtenido de él por traslación.

Con esta representación, la adición de complejos, puede considerarse como una suma vectorial.

Así la suma de con se corresponde con el punto , y por tanto con el vector suma de los y .

Análogamente está representado por el vector desde a .

La longitud o norma del vector es el módulo del complejo . La distancia entre los puntos y es .

El estará determinado por el punto simétrico de z, respecto al eje real. El simétrico de , respecto al eje real. El simétrico respecto al eje imaginario es .

Con esta interpretación geométrica, la desigualdad triangular y la identidad: se convierten en sencillos teoremas geométricos.

Análogamente está representado por el vector desde a .

Representación polar[editar]

El argumento φ y módulo r localizan un punto en un diagrama de Argand; o es la expresión polar del punto.

En esta representación, es el módulo del número complejo y el ángulo es el argumento del número complejo.

Despejamos a y b en las expresiones anteriores y, utilizando la representación binomial:

Sacamos factor común r:

Frecuentemente, esta expresión se abrevia convenientemente de la siguiente manera:

la cual solo contiene las abreviaturas de las razones trigonométricas coseno, la unidad imaginaria y la razón seno del argumento respectivamente.

Según esta expresión, puede observarse que para definir un número complejo tanto de esta forma como con la representación binomial se requieren dos parámetros, que pueden ser parte real e imaginaria o bien módulo y argumento, respectivamente.

Según la Fórmula de Euler, vemos que:

No obstante, el ángulo no está unívocamente determinado por z, pueden existir infinitos números complejos que tienen el mismo valor representado en el plano, que se diferencian por el número de revoluciones, ya sean de sentido antihorario (positivas) u horario (negativas) las cuales se representan por números enteros , como implica la fórmula de Euler:

Por esto, generalmente restringimos al intervalo [-π, π) y a éste restringido lo llamamos argumento principal de z y escribimos φ=Arg(z). Con este convenio, las coordenadas estarían unívocamente determinadas por z.

3. 2. 1 Representación geométrica de números complejos

Así como los números reales se representan geométricamente por medio de una recta, es posible dar una representación geométrica de los números complejos usando un sistema de coordenadas cartesianas.

Haremos ahora una identificación entre los números complejos y los puntos del plano. A cada número complejo Z = a + bi, se le asocia el punto del plano, P(a , b).

De esta forma, se obtiene una representación geométrica o Diagrama de Argand de Z, ver la figura:

En esta representación, la componente real de Z se copia sobre el eje X, que será llamadoeje real y la componente imaginaria sobre el eje Y, que será llamado eje imaginario. El conjunto de todos estos puntos, será llamado Plano Complejo.

Ejemplo. El complejo Z = 4 + 5i se puede representar en el Plano Complejo, para lo cual ubicamos primero al punto de coordenadas (4, 5). Una vez hecho esto se tendrá la representación de Z, ver la figura siguiente:

Números complejos en forma polar

Un número complejo en forma polar consta de dos componentes: módulo y argumento.

Módulo de un número complejo

El módulo de un número complejo es el módulo del vector determinado por el origen de coordenadas y su afijo. Se designa por |z|.

Argumento de un número complejo

El argumento de un número complejo es el ángulo que forma el vector con el eje real. Se designa por arg(z).

.

Expresión de un número complejo en forma polar.

z = rα

|z| = r r es el módulo.

arg(z) = es el argumento.

Ejemplos

Pasar a la forma polar:

z = 260º

z = 2120º

z = 2240º

z = 2300º

z = 2

z = 20º

{Teoría}Números complejos (Aplicación de la forma polar)

Publicado el 14/04/2012| 1 Comentario

Tras haber visto los temas anteriores (parte 1, parte 2 y parte 3), es hora de ver alguna de las aplicaciones de la forma polar.

La principal utilidad de la forma polar es que facilita mucho el cálculo de ciertas operaciones. A continuación veremos como se realizan lamultiplicación y división en forma polar. Sean rα y r’β dos números complejos en forma polar:

Multiplicación: rα• r’β = (rr’)α+β

División: rα /r’β = (r/r’)α-β

Ejemplos:

430º • 260º = 890º

430º • 260º = 2-30º = 2330º

También puede usarse con las potencias o raíces.

Potencia: (rα)n = rn(nα)

En el caso de la raíz la solución no será única de la misma forma que 4 tiene por raíz a +2 y -2, la raíz n-ésima de un complejo tiene n soluciones:

Raíz: donde con k=0, 1, …, n-1

El módulo es siempre el mismo (hay que coger la raíz positiva), lo que varía de una solución a otra es el argumento.

Ejemplo:

445º2 = 1690º

√9 60º = 330º y 3210º

Observación: Las soluciones de la raíz n-ésima dividen el círculo de radio

(√n r) en n trozos iguales.

Observación 2: A partir del resultado de las potencias en forma polar, podemos pasarlo a forma trigonométrica:

(cosα + isinα)n = (cos(nα) + isin(nα))

Lo que se conoce como fórmula de Moivre.

2.5 Representación geométrica

Así como los números reales se representan geométricamente por medio

de una recta, es posible dar una representación geométrica de los números

complejos usando un sistema de coordenadas cartesianas. En un sistema de

tales coordenadas, se tiene un par de ejes que se cortan perpendicularmente

en un punto llamado el origen. El eje en posición horizontal se llama eje x y el

eje en posición vertical, llamado eje y. Si P es un punto cualquiera, entonces le

asociamos las coordenadas x e y, donde x, llamada la abscisa, es la distancia

desde el punto hasta el eje y e y, llamado la ordenada, es la distancia desde el

punto hasta el eje x. De esta manera, denotamos al punto por P(x, y).

Haremos ahora una identificación entre los números complejos y los

puntos del plano. A cada número complejo z = a+bi, se le asocia el punto del

plano, P(a, b). De esta forma, se obtiene una representación geométrica o

Diagrama de Argand de z, ver la figura 2.1:

Fig. 2.1 Representación geométrica de un número complejo o Diagrama de Argand.

En esta representación, la componente real de z se copia sobre el eje x,

que será llamado eje real y la componente imaginaria sobre el eje y, que será

llamado eje imaginario. El conjunto de todos estos puntos, será llamado Plano

Complejo. 19

Ejemplo: El complejo z = 4 + 5i se puede representar en el plano

complejo, para lo cual ubicamos primero al punto de coordenadas (4, 5). Una

vez hecho esto se tendrá la representación de z, como podemos ver en la figura

2.2.

Figura 2.2 Representación geométrica del complejo z = 4 + 5i.

Ejemplo: El complejo w = -6+2i lo podemos representar, ubicando al

punto de coordenadas P (-6,2) sobre el plano. En este caso el complejo estará

ubicado en el segundo cuadrante. Ver la figura 2.3.

Figura 2.3 Representación geométrica del complejo z =-6 + 2i.

Ejemplo: El complejo z = -2 + 3i lo podemos representar, ubicando al

punto de coordenadas P (-2,-3) sobre el plano. En este caso el complejo estará

ubicado en el tercer cuadrante. Ver la figura 2.4.

20

Figura 2.4 Representación geométrica del complejo z = -2 -3i..

Ejemplo: El complejo w = 2 - 4i lo podemos representar, ubicando al

punto de coordenadas P (2, -4) sobre el plano. En este caso el complejo estará

en el cuarto cuadrante. Ver la figura 2.5.

Figura 2.5 Representación geométrica del complejo z = 2 -4i.

Interpretación geométrica del módulo y el conjugado

Sea z = a + bi un número complejo. Entonces nos interesa calcular la

longitud del segmento c que une al origen con el punto correspondiente a z en el

plano complejo (ver la figura 2.6).

21

Figura 2.6 Representación geométrica del módulo y conjugado de un número complejo z.

De acuerdo a la disposición de los ejes y el segmento dado, se ha

formado un triángulo rectángulo, con catetos a y b, e hipotenusa dada por c.

Usando el Teorema de Pitágoras, se demuestra que la longitud de este

segmento c, es igual a

2 2

a  b y por lo tanto, igual al módulo del complejo z.

Esto es:

Figura 2.7 Representación geométrica del módulo de un número complejo z.

Tenemos entonces una interpretación geométrica del módulo de un

complejo:

El módulo de un número complejo z es igual a la distancia desde el punto z

hasta el origen.

Por otro lado, si z = a + bi es un número complejo, su conjugado viene

dado por

z = a - bi. Luego el conjugado en forma geométrica se obtiene al

reflejar el punto correspondiente a z, alrededor del eje real (ver la figura 2.8). 22

Figura 2.8 Representación geométrica del conjugado de un número complejo z.

Tenemos luego la interpretación geométrica del conjugado de un complejo z:

El conjugado de un número complejo z se obtiene como una imagen especular

de z alrededor del eje real.

Suma geométrica de complejos

Podemos sumar dos números complejos en forma geométrica, mediante

un algoritmo muy sencillo, llamado Regla del paralelogramo. Si se tienen dos

complejos, digamos z1 y z2, entonces z1 + z2 se halla de la siguiente forma: a

partir del punto representando a z1 se traslada el segmento que une al punto z2

con el origen. Al final de dicho segmento, se hallará el complejo z1 + z2, ver la

figura 2.9.

Figura 2.9 Suma geométrica de dos números complejos z1 y z2.

23

Vemos entonces que el complejo suma se halla en el extremo de la

diagonal del paralelogramo con lados |z1| y |z2|. Podemos resumir entonces:

La suma de dos números complejos, de manera geométrica, se efectúa usando

la Ley del Paralelogramo.

Como la longitud de un lado en un triangulo es siempre menor que la

suma de los otros dos lados, se obtiene la siguiente desigualdad para los

módulos:

|z1 + z2|



|z1| + |z2|

Para hallar el opuesto o negativo de un número complejo, en forma

geométrica, procedemos de la manera siguiente: Si z = a + bi, entonces -z = -a –

bi y se ubica en el extremo del segmento de dirección opuesta a la de z (ver la

figura 2.10).

Figura 2.10 Representación geométrica del opuesto o negativo de un número complejos z.

Para restar dos números complejos en forma geométrica, digamos z1 - z2,

se ubica el primer complejo en el plano, z1 y a continuación se coloca el

segmento del opuesto de z2 en el punto correspondiente a z1. El complejo

resultante z1 - z2 se ubica en el extremo final de z2 (ver la figura 2.11).

Figura 2.11 Resta geométrica de dos números complejos z1 y z2.

3. Desigualdad triangular para los números complejos.

Sean Z = a + bi y W = c + di , dos números complejos, entonces se tiene

| Z + W | ≤ | Z | + | W |.

Demostración: Tenemos las igualdades

| Z + W | 2 = ( Z + W ) ( Z + W ) = Z Z + W W + Z W + Z W

= | Z | + | W | + Z W + Z W

Si logramos probar que

Z W + Z W ≤ 2 | Z | | W | ( 1)

se tendrá entonces | Z + W | 2 ≤ (| Z | + | W |)2 y de aquí se obtendrá el resultado.

Notemos que

Z W + Z W = (a + bi )(c - di) + (a - bi )(c + di)

= ac + bd - ( ad - bc ) i + ac + bd + ( ad - bc ) i

= 2 ( ac + bd )

≤ 2 [( a 2+ b 2)( c 2+ d 2)] ½

= 2 | Z | | W |

Nótese que hemos usado la desigualdad del cuadrilátero en la penúltima línea.

...