Variable aleatoria

1. Variable Binomial(n,p). Selecciona los valores n y p.

2. Variable Uniforme(a,b). Selecciona los valores a y b.

3. Variable exponencial(λ). Selecciona el valor de λ.

Para cada una de las variables mencionadas realice el siguiente procedimiento:

a) Genere una muestra aleatoria tamaño 100, con esta muestra:

i. Construya un histograma de densidad para el caso de la uniforme y la exponencial, para el caso de la binomial construya un diagrama de barras. Compare la gráfica resultante con la gráfica de la función de densidad (probabilidad en el caso de la binomial) teórica y comente lo que observa.

ii. Calcule promedio, cuartiles y desviación estándar, compárelos con los valores teóricos de los indicadores y comente lo que observa.

b) Genere 1000 muestra aleatorias tamaño 80, para cada muestra calcule la media (o proporción) muestral según el caso.

i. Construya un histograma de densidad para la media (o proporción) muestral. Compare la gráfica resultante con la gráfica de la función de densidad teórica de la variable aleatoria y comente lo que observa.

ii. Calcule promedio y desviación estándar de la media (o proporción) muestral, compárelos con los valores teóricos de los indicadores para la variable aleatoria y comente lo que observa.

Desarrollo

PUNTO A

Variable binomial

Código

#Codigo para la simulación de 100 valores entre 0 a 10

X=rbinom(100, 10, 0.4)

#Sacar cuartiles

qbinom(c(0.25,0.5,0.75),10,0.4)

#Representacion de la funcion de probabilidad

barplot(dbinom(0:10,10,0.4),names.arg = 0:10,xlab="k",ylab="P(X=k)",main="Función de Probabilidad B(10,0.4)")

#Tabla de frecuencia absoluta

freqAbs=table(X)

freqAbs

#Tabla frecuencia Relativa

freqRel=prop.table(freqAbs)

freqRel

#Tabla probabilidades teoricas

probsTeo=data.frame(X=0:10,Prob=dbinom(0:10,10,0.4))

probsTeo

#Comparacion frecuencia relativa frente a probabilidad teorica

freqRel=as.data.frame(freqRel)

str(freqRel)

freqRel$X=as.integer(as.character(freqRel$X))

compara=merge(freqRel,probsTeo,all=TRUE)

compara

#Grafico de comparacion

with(compara,{

plot(X,Freq, type="b")

points(X,Prob,col="red",pch=4)

lines(X,Prob,col="red",lty=2,lwd=2)

legend("topright",c("frec. relativa","probabilidad"),col=c("black","red"),lty=1:2,pch=c(1,4))

})

Fig. 1.Grafico de barras distribución binomial

Fig. 2 Grafico de comparación entre frec. relativa y probabilidad teorica

¿Que se observa?

R//La gráfica resultante de la comparación entre la frecuencia relativa observada y la probabilidad teórica muestra cómo se distribuyen los valores observados en la muestra (frecuencia relativa) en comparación con las probabilidades teóricas. Si los valores observados se ajustan bien a las probabilidades teóricas, las líneas que representan las frecuencias relativas y las probabilidades teóricas estarán cerca una de la otra.

Al comparar las dos gráficas, puedes observar si la muestra generada aleatoriamente se ajusta a la distribución binomial teórica con parámetros n=10 y p=0.4. Si la muestra es lo suficientemente grande y los valores observados se ajustan a las probabilidades teóricas, las dos líneas estarán cercanas entre sí, indicando un buen ajuste de la muestra a la distribución teórica.

Cálculo de promedio, cuartiles y desviación estándar

Promedio

El promedio para la distribución anterior este dado por la formula µ=n*p, donde; n=10 y p =0.4.

Entonces:

µ=n*p

µ=10*0.4

µ=4

Cuartiles

Los generamos automáticamente en R el cual me indica que el valor para los cuartiles es de:

Q_1=3 Q_2=4 Q_3=5

Desviación estándar

Para la desviación estándar:

σ=√(n*p(1-p))

σ=√(10*0.4(1-0.4))

σ=1.55

Variable uniforme

Código

# Establecer la semilla para reproducibilidad

set.seed(123) # Puedes cambiar el número de semilla si lo deseas

# Definir los valores para a y b

a <- 0 # Establecer el límite inferior de la distribución

b <- 10 # Establecer el límite superior de la distribución

# Generar una muestra aleatoria de tamaño 100

muestra <- runif(100, min = a, max = b)

# Crear el histograma de densidad con 9 intervalos

hist_obj <- hist(muestra, breaks = 9, plot = FALSE)

# Hacer el plot del histograma

plot(hist_obj, freq = FALSE, main = "Histograma de Densidad para la Distribución Uniforme",

xlab = "Valores", ylab = "Densidad", col = "lightblue", border = "black")

# Crear una tabla con la información del histograma

tabla_histograma <- data.frame(

Intervalos = paste(head(hist_obj$breaks, -1), "-", tail(hist_obj$breaks, -1)),

Densidad = hist_obj$density,

Frecuencia = hist_obj$counts)

# Imprimir la tabla

print(tabla_histograma)

# Número de intervalos

num_intervalos <- 10

# Ancho de cada intervalo

ancho_intervalo <- (b - a) / num_intervalos

# Probabilidad teórica para cada intervalo

probabilidad_teorica_por_intervalo <- 1 / num_intervalos

# Crear los intervalos

intervalos <- seq(a, b, by = ancho_intervalo)

# Crear una data frame para la tabla de probabilidad teórica

tabla_probabilidad_teorica <- data.frame(

Intervalo = paste(head(intervalos, -1), "-", tail(intervalos, -1)),

ProbabilidadTeorica = rep(probabilidad_teorica_por_intervalo, num_intervalos)

)

# Mostrar la tabla de probabilidad teórica

print(tabla_probabilidad_teorica)

# Calcular la densidad teórica

probabilidad_teorica <- 1 / (b - a)

# Crear un vector con el punto medio de cada intervalo del histograma

puntos_medios <- mapply(mean, head(hist_obj$breaks, -1), tail(hist_obj$breaks, -1))

# Graficar la densidad estimada por intervalo

plot(puntos_medios, hist_obj$density, type = "o", pch = 19, xlab = "Valores",

ylab = "Densidad", main = "Densidad vs. Probabilidad Teórica",

ylim = c(0, max(hist_obj$density,probabilidad_teorica)))

# Añadir una línea para la densidad teórica

abline(h =probabilidad_teorica, col = "red", lwd = 2)

# Añadir una leyenda

legend("topright", legend = c("Densidad ", "Probabilidad Teórica"),

col = c("black", "red"), lwd = 2, pch = c(19, NA))

# Calcular promedio y desviación estándar

promedio <- mean(muestra)

desviacion_estandar <- sd(muestra)

# Calcular cuartiles

cuartiles <- quantile(muestra, probs = c(0.25, 0.5, 0.75))

# Imprimir los resultados

cat("Promedio:", promedio, "\n")

cat("Desviación Estándar:", desviacion_estandar, "\n")

cat("Primer Cuartil (Q1):", cuartiles[1], "\n")

cat("Mediana (Q2):", cuartiles[2], "\n")

cat("Tercer Cuartil (Q3):", cuartiles[3], "\n")

Fig. 3 Histograma de densidad para distribución uniforme

Fig. 4 Comparación de densidad frente a probabilidad teórica

¿Que se observa?

Se puede observar en este caso que la línea roja horizontal que representa la densidad teórica es plana y constante a lo largo de todos los valores, reflejando la naturaleza uniforme de la distribución. Esto indica que cada punto dentro del rango tiene la misma probabilidad de ser elegido. También, los puntos o marcas que representan la densidad estimada de los intervalos del histograma pueden variar alrededor de la línea de densidad teórica. En un conjunto de datos finito y aleatorio, es normal que haya cierta variabilidad debido al azar. Con un tamaño de muestra relativamente pequeño (como 100 en este caso), podrías observar que la densidad estimada no se ajusta perfectamente a la densidad teórica, reflejando el error de muestreo. Esto es esperable y es una ilustración de cómo el muestreo aleatorio puede diferir de la distribución real.

En conclusión, al evaluar la calidad del ajuste entre las densidades estimada y teórica, se puede utilizar este gráfico para visualizar qué tan bien la muestra representa la distribución teórica esperada. En un contexto educativo o de simulación, es útil para entender conceptos como variabilidad, error de muestreo y la ley de los grandes números.

Calculo promedio, desviación estándar y cuartiles

Promedio

µ_x=4.985

Desviación estándar

σ_x=2.849

Cuartiles

Q_1=2.454 Q_2=4.667 Q_3=7.554

Variable exponencial

Código

# Parámetro de la distribución exponencial

...