Matrices y determinantes

TAREA UNIDAD 2

Desarrollar los contenidos de cada subtema de la unidad haciendo las consultas correspondientes en libros u otra fuente de información, mencionándolas en su reporte.

2.1 Definición de matriz, notación y orden.

Proporcione las definiciones anexando ejemplos para su mejor comprensión, y la notación para identificarlas. Proporcione cinco ejemplos de matrices usando diferente notación para cada una de ellas.

De cinco ejemplos de matrices cuadradas y cinco de matrices rectangulares.

Identifique el orden de cada una de las matrices que está proporcionando como ejemplos

2.2 Operaciones con matrices.

Consultar que operaciones se pueden realizar con las matrices.

¿Qué condición o requisito deben satisfacer dos o más matrices para que se puedan efectuar las operaciones de suma y resta?

Proporcione cinco ejemplos de suma y resta de matrices.

¿Para efectuar el producto de un escalar con una matriz existe alguna condición? Proporcione ejemplos.

¿Qué requisito deben cumplir dos o más matrices para que se pueda efectuar el producto matricial? Proporcione ejemplos.

2.3 Clasificación de las matrices.

Identifique cada matriz dadas sus características:

a) Todos los elementos del arreglo son ceros, ¿Cómo se llama y como se denota?

b) Solo tiene elementos no nulos y distintos en su diagonal principal

c) Solo tiene elementos distintos de cero por encima de su diagonal principal

d) Solo tiene elementos distintos de cero e iguales en su diagonal principal

e) Solo tiene elementos distintos de cero por debajo de su diagonal principal

f) Solo tiene elementos distintos de cero e iguales a uno en su diagonal principal

¿Cómo se llama y como se denota tal matriz?

g) ¿Cómo se obtiene la matriz traspuesta? ¿Cómo se denota?

h) Si una matriz cuadrada es igual a su traspuesta, ¿cómo se llama esa matriz?

i) Si una matriz cuadrada es igual a la opuesta de su traspuesta, ¿cómo se llama esa matriz?

Proporcione tres ejemplos de cada una de las matrices que clasifico.

Anexe algunas matrices para complementar la clasificación.

2.4 Transformaciones elementales por renglón. Escalonamiento de una matriz, rango de una matriz

¿Cuántas y cuáles son las operaciones elementales de fila o renglón?

¿Es el intercambio de dos filas cualesquiera de una matriz, una operación elemental de fila?

Si una matriz B se obtiene de una matriz A por medio de una sucesión finita de operaciones elementales de fila, entonces A y B son matrices equivalentes.

Utilizando cada una de las operaciones elementales de fila obtenga en cada caso una matriz equivalente.

¿Qué condiciones debe satisfacer una matriz para considerarse una matriz escalonada reducida por filas?

Partiendo de una matriz cuadrada de orden 2, obtenga una matriz equivalente que sea escalonada reducida por filas (usando operaciones elementales de fila)

Repita el procedimiento para matrices cuadradas de orden 3

¿Cómo puede determinarse o calcularse el rango de una matriz utilizando operaciones elementales de fila?

Ejemplifique utilizando una matriz de orden 2x3

Repita el procedimiento para otras matrices cualquier orden

2.5 Cálculo de la inversa de una matriz.

Utilizando el método de Gauss-Jordán y considerando una matriz cuadrada de orden dos, aplique el método mencionado para obtener la matriz inversa, si esta existe.

Repita el procedimiento, pero ahora para matrices de orden tres.

2.6 Definición de determinante de una matriz

Consultar la definición y notación de determinante.

De ejemplos de determinantes utilizando la notación adecuada.

Consultar como desarrollar un determinante de orden dos (cuál es la regla que se utiliza).

Consultar la definición, notación y como se obtiene el menor de un determinante.

Consultar la definición, notación y como se obtiene el cofactor de un determinante.

Consultar el método de menores y cofactores para desarrollar determinantes de orden tres.

Anexar al menos tres ejemplos de desarrollos de determinantes de orden tres.

2.7 Propiedades de los determinantes.

Buscar al menos 5 propiedades de los determinantes y ejemplificarlas, con determinantes de orden dos.

2.8 Inversa de una matriz cuadrada a través de su adjunta.

Consultar como se obtiene y como se denota la matriz adjunta de una matriz cuadrada.

Obtenga la matriz adjunta de una matriz de orden dos

Obtenga la matriz adjunta de una matriz de orden tres

Utilizar la matriz adjunta para invertir una matriz cuadrada.

2.9 Aplicación de las matrices y los determinantes.

Investigar donde se aplican las matrices y anexar a su reporte una de ellas.

2.1 Definición de matriz, notación y orden.

Una matriz es una tabla cuadrada o rectangular de datos (llamados elementos) ordenados en filas y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales. A una matriz con m filas y n columnas se le denomina matriz m-por-n (escrito m×n). Las dimensiones de una matriz siempre se dan con el número de filas primero y el número de columnas después.

La notación común para las matrices utiliza una letra negrita para la matriz, e identifica sus elementos en términos de filas y columnas de la matriz. Los elementos normalmente se especifican por subíndices arc con el subíndice de fila (r) primero.

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Ejemplos de matrices cuadradas

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Ejemplos de matrices rectangulares

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2.2 Operaciones con matrices.

Las operaciones básicas entre matrices son:

La suma y la resta

La suma de dos matrices es otra matriz, y cada uno de sus elementos es igual a la suma de los elementos de las dos matrices anteriores con los mismos subíndices. Evidentemente, la suma sólo puede realizarse entre matrices de la misma dimensión, y su resultado también tendrá idéntica dimensión. Por ejemplo, dadas estas matrices

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Las sumas A+C y B+C no pueden realizarse porque son matrices de diferente dimensión. En cambio, sí es posible sumar A+B, de esta manera:

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La resta entre matrices se realiza de manera similar, teniendo en cuenta que, en lugar de sumar los elementos de las matrices, se restan.

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El producto de un número por una matriz

Para realizar el producto de un número por una matriz tan sólo es necesario multiplicar cada elemento de dicha matriz por el número. Por ejemplo, siguiendo con la misma matriz A, si la multiplicamos por 3, éste es el resultado:

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Propiedades

Clausura: Si A es matriz y c es escalar, entonces cA es matriz.

-Asociatividad: (cd)A = c(dA)

-Elemento Neutro: 1·A = A

-Distributividad:

    -De escalar: c(A+B) = cA+cB

    -De matriz: (c+d)A = cA+dA

El producto de dos matrices

No debe confundirse este producto con el anterior. Para multiplicar dos matrices debe tenerse en cuenta lo siguiente:

• El número de columnas de la primera matriz debe coincidir con el número de filas de la segunda matriz.
• La matriz resultante tendrá tantas filas como la primera, y tantas columnas como la segunda.

El elemento cij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.

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El producto de matrices tiene las siguientes propiedades:

1. Asociativa: A×B×C=A×(B×C) =(A×B) ×C

2. El elemento neutro del producto de matrices es la matriz identidad, In. Es decir, si A es una matriz cuadrada n×n, A×In=In×A=A.

3. A veces (aunque no siempre), existen matrices cuadradas que tienen elemento inverso. Dicha matriz, cuando existe, se denomina inversa; también se dice que la matriz A es invertible. La matriz inversa de una matriz cuadrada de dimensión n×n A, se indica A−1, y cumple:

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