Matrices y determinantes

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Presentación

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Maestro:

José Luis Pacheco Flores

Alumno:

José Ángel Hernández Calderón

Materia:

Algebra Lineal

Grupo:

Mv2

Especialidad:

Ingeniería Civil

ÍNDICE

introduccion3

desarrollo3

Definición de matriz, notación y orden. 3

Operaciones de matriz. 4

Clasificación de matriz. 5

Transformaciones elementales por reglón. Escalonamiento de una matriz.

Núcleo y rango de una matriz. 6

Calculo de la inversa de una matriz. 8

Definición de determinante de una matriz.  11

Propiedades de los determinantes.  12

Inversa de una matriz cuadrada a través de la adjunta.  14

Aplicación de matrices y determinantes.15

Conclusión17

INTRODUCCIÓN

Son herramientas del algebra que facilitan el ordenamiento de datos, asi como su manejo. Donde una matriz es una tabla bidimensional de números en cantidades abstractas que pueden sumarse y multiplicarse. Se utilizan para describir sistemas de ecuaciones lineales y registrar los datos que dependen de varios parámetros. Donde a continuación desarrollaremos y explicaremos más a detalle sobre el tema en mención.

DESARROLLO

Definición de matriz, notación y orden.

Para determinar y tener en claro a lo que vamos a explicar necesitamos empezar desde el principio. ¿Qué es una matriz ? Es un conjunto de números, objetos u operadores, dispuestos en un arreglo bidimensional de renglones y columnas, encerrados entre paréntesis rectangulares, que obedecen a ciertas reglas algebraicas. Ejemplo:

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Una matriz con un solo renglón o con una sola columna es conocida como vector renglón o columna respectivamente.

Una matriz es cuadrada si posee el mismo numero de renglones y de columnas. Ejemplo;

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Dos matrices dicen que son iguales si son del mismo orden y todos los elementos de la matriz son idénticos a sus correspondientes elementos de la otra matriz.

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Se denomina columna a la matriz que tiene m x 1 y se llama matriz fila a la matriz a x m elementos.

Operaciones de matriz.

Multiplicación Escalar.

Si A=[ay] es una matriz de m x n y c es escalar. Entonces el múltiplo escalar de A por C es la Matriz m x n definida por CA= [cay]

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Suma.

Suma de matrices A + B: matriz que resulta de sumar los elementos de A y B que estan situados en la misma fila y columna.

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Resta.

El procedimiento es casi similar a la de la suna donde se restan los elementos que se encuentran en la misma posicion .

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Producto por un numero real.

Dada una matriz cualquiera y un numero real, el producto se realiza multiplicando todos los elementos por el numero real, resultando otra matriz de igual tamaño. Y asi mismo seria la misma regla para operaciones de division entre un numero real.

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Clasificación de matriz.

Matriz nula.

Se llama la matriz nula a la que tiene todos los elementos cero.

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Matriz Fila.

La que solo tiene una fila.

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Matriz Columna.

Solo consta de una sola columna.

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Matriz Cuadrada.

Donde la matriz tiene el mismo número de filas y de columnas.

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Dentro de la matriz cuadrada llamaremos diagonal principal a la formada por los elementos a11,a22,a33…,ann siendo la matriz.

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También dentro de las matrices cuadradas están las matrices triangulares, donde se denomina triangular superior si todos los elementos por debajo de la diagonal principal son nulos y triangular inferior donde los elementos situados por encima de dicha diagonal.

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Y si entre las dos triangulares , solo tiene elementos en la diagonal principal. Este tipo se denomina matriz diagonal.

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Donde una matriz diagonal en su diagonal principal tiene sólo unos, se denomina matriz de unidad o de identidad.

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Transformaciones elementales por reglón. Escalonamiento de una matriz. Núcleo y rango de una matriz.

La idea con las transformaciones elementales es convertir una matriz concreta en otra matriz mas fácil de estudiar. Sea  A una matriz y F una fila de A. Diremos que F es nula si todos los números de F coinciden con el cero. Si F es no nula. Llamamos PIVOTE de F al primer numero distinto de cero de F contando de izquierda a derecha.

Una matriz escalonada es aquilla que verifica las siguientes propiedades. Todas las finas nulas si existen se encuentran en la parte inferior de la matriz. El pivote de cada fila no nula se encuentra estrictamente mas a la derecha que el pivote de la fila de encima. Ejemplo

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“A” no es escalonada , mientras B y C si lo son.

La siguiente cuestión que abordaremos es la definición de rango para una matriz cualquiera que no esté escalonada. La idea será la de transformar la matriz dada en otra que sea escalonada mediante las llamadas transformaciones elementales por filas que describimos a continuación.

Dada una matriz A cualquiera, las TRANSFORMACIONES ELEMENTALES por filas de A son tres:

• Intercambiar la posición de dos filas.
• Multiplicar una fila por un número real distinto de cero.
• Sustituir una fila por el resultado de sumarle a dicha fila otra fila que ha sido previamente multiplicada por un número cualquiera.

El siguiente resultado nos garantiza que siempre podemos transformar una matriz cualquiera en otra escalonada.

A partir de cualquier matriz A se puede llegar, mediante una cantidad finita de transformaciones elementales, a una matriz escalonada E.

Veamos en un ejemplo cómo se hace. Obsérvese que, primero, hacemos que la componente (1,1) de la matriz de partida sea igual a uno. Luego, se hace que el resto de componentes de la primera columna sean cero. Después se pasa a la componente (2,2), y así sucesivamente.

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Dada una matriz A cualquiera se define el RANGO de A y lo denotamos rg(A) como el rango de cualquier matriz escalonada E equivalente con A (se demuestra que este número no depende de la matriz escalonada E a la que se llegue). El rango siempre es un número menor o igual que el número de filas y el número de columnas de A. Además, el rango es cero si y sólo si A = 0. En nuestro ejemplo de antes, el rango es 3.

Calculo de la inversa de una matriz.

Evidentemente, en el caso de los números reales es bien fácil despejar x para obtener, en nuestro caso, que x =12, es decir, el inverso de un número real es otro número que multiplicado por ´el da el elemento neutro, el 1.

Todo número real, salvo el 0, tiene inverso.

Trasladando esto a las matrices, nos podemos plantear si dada una matriz cuadrada A de orden n, cualquiera, existe su inversa X para el producto de matrices, tal que A ・ X = In es decir, el producto de A por su inversa produce el elemento neutro matricial, la matriz identidad In. Sin embargo, hay algunas diferencias con respecto al caso de los números reales:

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