Para cada una de las siguientes funciones determinar

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

PRÁCTICA 4: ESTUDIO DE FUNCIONES

1.  Para cada una de las siguientes funciones determinar

i) los intervalos en los que es creciente o decreciente

     ii) máximos y mínimos locales

      a)  f(x) =  [pic 1]                                          b)  f(x) = [pic 2]

1. [pic 3]                        d)  f(x) =   2 + [pic 4]

      e)  f(x) =  [pic 5]                                            f)  f(x) = [pic 6]

      g)  f(x) =[pic 7]

2. Analizar si las siguientes funciones tienen máximo o mínimo

a)  f(x) = [pic 8]                                    b)   f(x) = [pic 9]

3. Probar que:

a)  f(x) =  [pic 10]     es una función creciente para todo x.

b)  f(x) = [pic 11]       es una función decreciente para todo x.

4. Determinar en qué puntos pueden tener un máximo o mínimo local las siguientes

    funciones:

a)   f(x) = [pic 12]             b)   f(x) = [pic 13]            c)   f(x) = [pic 14]

5. Analizar los máximos y mínimos locales de las siguientes funciones usando el criterio de la derivada segunda.

a) f(x) = [pic 15]                                b)  f(x) = [pic 16]

6. Estudiar la concavidad y los puntos de inflexión de:

a)  f(x) = [pic 17]            b)  f(x) =  [pic 18]        c)  f(x ) = [pic 19]                                               d)  f(x) = [pic 20]                                            e)  f(x) = 3x + [pic 21]

7. Hallar máximos, mínimos y puntos de inflexión de:

a)  f(x) = [pic 22]       en  [pic 23]                      b)  f(x) = [pic 24]                                             c)  f(x) = [pic 25]                                                    d)  f(x) = (x-1) [pic 26]

8. Estudiar crecimiento, extremos locales, concavidad, puntos de inflexión, asíntotas y graficar las siguientes funciones.

a)  f(x) = [pic 27]                                              b)  f(x) = 3x + [pic 28]

c)  [pic 29]                                                d)  [pic 30]

e)   [pic 31]                                              f)   [pic 32]

g)     [pic 33]                                       h)  f(x) = [pic 34]                                               

i)  f(x) = 4.sen2x                                               j)  f(x) = 3.[pic 35]

9. Investigar los valores máximos y mínimos absolutos de las siguientes funciones en los intervalos que se indican.

a)   f(x) = [pic 36]   en                                b)  f(x) = -3[pic 37][pic 38]

c)  f(x) = [pic 39]                                   d)  f(x) =[pic 40]       

10. Sea [pic 41].

i) Determinar  los valores de a y  b para los cuales f tiene extremo local en x = 1 y

punto de inflexión en x = 2.

ii) decidir si x = 1 en máximo o mínimo. ¿Es absoluto?

11. Dada[pic 42],  determinar  los valores de a y  b para que f tenga

      punto de inflexión en x = 1 y la pendiente de la recta tangente en el punto de  

      inflexión sea –3.

12.  De todos los rectángulos de área 100, ¿cuál es el que tiene perímetro mínimo? 

13. De todos los rectángulos de perímetro 80, ¿cuál es el que tiene área máxima? 

14. La suma de un número positivo y del cuadrado de otro es 48.

Si el producto de esos números es máximo, ¿cuáles son esos números?

15. La suma de dos números positivos es 120.

a) Si el producto del primero por el cuadrado del segundo es máximo,¿cuáles son esos números?

b) Si la suma de sus cuadrados es mínima, ¿cuáles son esos números?

16. El producto de dos números positivos es 16. Hallar los números si:

a) su suma es mínima

b) la suma de uno con el cuadrado del otro es mínima

17. ¿Cuál es el área máxima que puede tener un triángulo isósceles, si cada uno de los lados iguales tiene 10 cm de longitud?

18.  El papel rectangular con el que se confecciona un póster tiene 294 cm2 de área. Si los márgenes laterales son de 2 cm y los márgenes superior e inferior de 3 cm, ¿qué dimensiones tiene el papel si el área impresa es máxima?

19. Hallar la pendiente de la recta que pasa por el punto (3,4) y determina un triángulo en el primer cuadrante de área mínima.

20. Graficar las siguientes funciones hallando, previamente, asíntotas, intersecciones con los ejes, máximos y mínimos, puntos de inflexión, intervalos de crecimiento y concavidad.

a)   f(x) = [pic 43]                                 b)   f(x) = [pic 44]

c)   f(x) = [pic 45]                             d)   f(x) = [pic 46]  (atención asíntotas)

e)   f(x) =  [pic 47]                           f)    f(x) = [pic 48]

g)   f(x) =[pic 49]                             h)   f(x) =[pic 50]

21. Determinar el valor de k є R para el cual la función  f(x) = [pic 51] tiene un extremo relativo en x = 2. ¿Es máximo o mínimo? ¿Es absoluto?

22. Dibujar, si es posible, una función f:  R→R    que verifique:

. f es continua en R           . f no es derivable en x = 3               . f(2) = 3      

. f ‘(x) > 0     si   x > 3        . f es decreciente es (-∞,2)                . f(-2) = 5                                                

. [pic 52]                     .[pic 53]

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

PRÁCTICA 5:   TEOREMA del  VALOR MEDIO y sus aplicaciones

1. Hallar el incremento [pic 54][pic 55]y   df  

a)  [pic 56]   para   x = 3   y  [pic 57].

b)  [pic 58]          para   x = 3   y  [pic 59].

2. Sin calcular la derivada, hallar, aproximadamente, [pic 60] para:

a)   x = 1  y [pic 61]        b) x = 1  y [pic 62] 

Comparar los valores aproximados con el correspondiente usando derivadas.

3. Sustituyendo el incremento de la función por su diferencial, calcular aproximadamente

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