Diseño De Experimentos

Capítulo 3

Diseño Estadístico de Experimentos

Una prueba o serie de pruebas en las cuales se introducen cambios deliberados

en las variables de entrada que forman el proceso, de manera que

sea posible observar e identificar las causas de los cambios en la variable

de salida

REALIZAR UN EXPERIMENTO

Aplicar los distintos niveles, o combinaciones de niveles cuando hay presentes

más de un factor, a distintas unidades experimentales y se observa

el valor de la variable respuesta.

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26 Diseño Estadístico de Experimentos

¥ Unidades experimentales: (personas, elementos físicos,· · · )

¥ Factor: Variable controlable por el experimentador (Niveles del factor o

tratamientos)

¥ Variable de interés: Variable Respuesta

¥ Error experimental o perturbación: Variables no controlables por el experimentador

¥ Tamaño del experimento: número total de observaciones.

OBJETIVO

Estudiar el efecto que sobre la Variable Respuesta tiene un conjunto de

otras variables que reciben el nombre de Factores

ETAPAS

1) Diseñar un experimento con una estructura lo más adecuada posible a la

situación que se desea estudiar y a los medios disponibles.

a) Planteamiento general del problema y de los objetivos que se persiguen.

b) Selección y definición de la variable respuesta.

c) Elección de los factores y niveles que han de intervenir en el experimento.

d) Determinación del conjunto de unidades experimentales incluidas en

el estudio.

e) Determinación de los procedimientos por los cuales los tratamientos

se asignan a las unidades experimentales.

2) Realizar la experimentación de acuerdo con el plan previamente establecido

en el diseño.

3) Analizar estadísticamente los resultados obtenidos y comprobar si las hipótesis

establecidas y el modelo de diseño elegido se adecuan a la situación

estudiada.

4) Realizar las modificaciones oportunas para ampliar o modificar el diseño.

5) Obtener las conclusiones apropiadas.

Diseño Estadístico de Experimentos 27

PRINCIPIOS BÁSICOS

DEL DISEÑO DE EXPERIMENTOS

¥ Aleatorización: La asignación de las unidades experimentales a los distintos

tratamientos y el orden en el que se realizan los ensayos se determinan

al azar.

¥ Replicación.

¥ Homogeneidad del material experimental.

DISEÑO COMPLETAMENTE

ALEATORIZADO

¥ Una compañía algodonera que emplea diversos fertilizantes desea comprobar

si éstos tienen efectos diferentes sobre el rendimiento de la semilla de

algodón.

¥ Una profesora de estadística que imparte en grupos experimentales de

alumnos, en los que explica la misma materia pero siguiendo distintos

métodos de enseñanza, desea comprobar si el método de enseñanza utilizado

influye en las calificaciones de los alumnos.

¥ Una industria química, que obtiene un determinado producto, está interesada

en comprobar si los cambios de temperatura influyen en la cantidad

de producto obtenido.

F INTERÉS: Un solo factor con varios niveles o tratamientos

F TÉCNICA ESTADÍSTICA: Análisis de la Varianza de un factor o una

vía

F OBJETIVO: Comparar ente sí varios grupos o tratamientos

F MÉTODO: Descomposición de la variabilidad total de un experimento

en componentes independientes

28 Diseño Estadístico de Experimentos

OTROS FACTORES QUE INFLUYEN

¥ Pequeñas variaciones en la cantidad de riego, en la pureza de los insecticidas

suministrados, etc.

¥ El nivel cultural del alumno, el grado de atención y de interés del alumno,

etc.

¥ La pureza de la materia prima, la habilidad de los operarios, etc.

Teóricamente es posible dividir esta variabilidad en dos partes, la originada

por el factor de interés y la producida por los restantes factores que

entran en juego, conocidos o no, controlables o no, que recibe el nombre

de perturbación o error experimental.

MODELO ESTADÍSTICO

yij = μ + τ i + uij , i = 1, · · · , I; j = 1, · · · ni

¥ yij : Variable aleatoria que representa la observación j-ésima del i-ésimo

tratamiento (nivel i-ésimo del factor).

¥ μ : Efecto constante, común a todos los niveles. Media global.

¥ τ i : Efecto del tratamiento i-ésimo. Es la parte de yij debida a la acción del

nivel i-ésimo, que será común a todos los elementos sometidos a ese nivel

del factor.

¥ uij : Variables aleatorias que engloban un conjunto de factores, cada uno

de los cuales influye en la respuesta sólo en pequeña magnitud pero que

de forma conjunta debe tenerse en cuenta. Deben verificar las siguientes

condiciones:

F La media sea cero: E[uij] = 0 ∀i, j .

F La varianza sea constante: Var [uij] = σ2 ∀i, j

Diseño Estadístico de Experimentos 29

F Independientes entre sí: E [uij urk] = 0 i 6= r ó j 6= k.

F Distribución sea normal.

OBJETIVO

Estimar lo efectos de los tratamientos y contrastar las hipótesis

1) Todos los tratamientos producen el mismo efecto.

H0 : τ i = 0 , ∀i

2) Frente a la alternativa: Al menos dos difieren significativamente entre sí:

H1 : τ i 6= 0 por lo menos para algún i

o equivalentemente

1´) Todos los tratamientos tienen la misma media:

H0 : μ1 = · · · = μI = μ

2´) H1 : μi 6= μj por lo menos para algún par (i, j)

SITUACIONES (EFECTOS)

¥ Modelo de efectos fijos:

X

i

niτ i = 0

¥ Modelo de efectos aleatorios

SITUACIONES (TAMAÑOS MUESTRALES)

¥ Modelo equilibrado o balanceado:Todas las muestras del mismo tamaño

(ni = n)

¥ Modelo no-equilibrado o no-balanceado: Los tamaños, ni, de lasmuestras

son distintos.

30 Diseño Estadístico de Experimentos

TABLA ANOVA

Fuentes de Variación Sumas de Grados de Cuadrados Medios Fexp

Cuadrados libertad

Entre grupos SCT r I − 1 CMT r

CMT r

CMR

Dentro de grupos SCR n − I CMR

TOTAL SCT n − 1 CMT

Aceptar H0 si Fexp ≤ Fα;I−1,N −I ; Rechazar H0 si Fexp>Fα;I−1,N−I

SCT = SCT r + SCR

1) SCT : Suma de cuadrados total

2) SCT r: Suma de cuadrados entre tratamientos

3) SCR: Suma de cuadrados dentro de los tratamientos o residual.

1´) CMT : Cuadrado medio total: CMT =SCT /(N − 1)

2´) CMT r : Cuadrado medio entre tratamientos: CMTr =SCTr/(I − 1)

3´) CMR : Cuadrado medio residual: CMR = SCR/(N − I)

Nota: Las expresiones de estas sumas de cuadrados están dadas en el Apéndice.

COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN

R2 =

SCT r

SCT

R2 : Proporción de la variabilidad total presente en los datos que es explicada

por el modelo de análisis de la varianza.

Diseño Estadístico de Experimentos 31

EJEMPLOS

1. Una compañía textil utiliza diversos telares para la producción de telas.

Aunque se desea que los telares sean homogéneos con el objeto de producir

tela de resistencia uniforme, se supone que puede existir una variación significativa

en la resistencia de la tela debida a la utilización de distintos

telares. A su disposición tiene 5 tipos de telares con los que realiza determinaciones

de la resistencia de la tela. Este experimento se realiza en

orden aleatorio y los resultados se muestran en la tabla siguiente

Telares Resistencia

1 51 49 50 49 51 50

2 56 60 56 56 57

3 48 50 53 44 45

4 47 48 49 44

5 43 43 46 47 45 46

. En este experimento, se han considerado 5 tipos de telares y se han realizado

6, 5, 5, 4 y 6 determinaciones de la resistencia de tela manufacturada

con cada uno, respectivamente.

¥ La variable de interés o variable respuesta es la resistencia de la tela.

¥ El factor: Los telares

¥ Niveles del factor: 5

¥ Modelo unifactorial de efectos fijos, no-equilibrado

32 Diseño Estadístico de Experimentos

2. En una determinada fábrica de galletas se desea saber si las harinas de sus

cuatro proveedores producen la misma viscosidad en la masa. Para ello,

produce durante un día 16 masas, 4 de cada tipo de harina, y mide su

viscosidad. Los resultados obtenidos son:

Proveedor A Proveedor B Proveedor C Proveedor D

98 97 99 96

91 90 93 92

96 95 97 95

95 96 99 98

¥ Variable respuesta: viscosidad

¥ Factor: Proveedor

¥ Tratamientos: 4

¥ Modelo unifactorial de efectos fijos equilibrado

3. Una fábrica de textiles dispone de un gran número de telares. En principio,

se supone que cada uno de ellos debe producir la misma cantidad de

tela por unidad de tiempo. Para investigar esta suposición se seleccionan

al azar

...