Modelos Probabilisticos

Variables aleatorias

1. Se ha determinado que la llegada de un cliente a un restaurante, durante intervalos de tiempo de 15 minutos, elegidos al azar, tiene la distribución de probabilidad mostrada en la tabla:

xi 0 1 2 3 4 5

pi 0.15 0.25 0.25 0.20 0.10 0.05

Con los datos, deberás:

a. Comprobar que los datos de la tabla representan una distribución de probabilidad.

b. Hallar la probabilidad de que el número de personas que llegan, en un intervalo de 15 minutos, sea menor de cuatro.

c. Calcular la probabilidad de que al menos tres personas lleguen en un intervalo de 15 minutos.

d. Determinar el número esperado de personas para un intervalo de 15 minutos.

e. Determinar la varianza de llegadas para un intervalo de 15 minutos.

Respuestas

a) La suma de las probabilidades tiene que ser 1 para ser una distribución de probabilidad:

0.15 + 0.25 + 0.25 + 0.20 + 0.10 + 0.05 = 1 --> Es una distribución de probabilidad.

b)

La probabilidad que sea menor que cuatro es lo mismo que sumar la probabilidad de que entre 0,1, 2 ó 3:

P(x<4) =P(x=0) + P(x=1) + P(x=2) + P(x=3) = 0.15 + 0.25 + 0.25 + 0.20 = 0.85

85% Probabilidad

c)

Probabilidad de que al menos 3, es lo mismo que decir, que lleguen 3, 4 ó 5:

P(x>=3) = P(x=3) + P(x=4) + P(x=5) = 0.20 + 0.10 + 0.05 = 0.35

35% Probabilidad

d)

Numero esperado es calcular la esperanza, o media (ponderada), que es multiplicar el número de personas por la probabilidad de que entre ese número de personas:

0•0.15 + 1•0.25 + 2•0.25 + 3•0.20 + 4•0.10 + 5•0.05 = 2 personas se esperan.

e)

Varianza se calcula como: para un nº de clientes la diferencia entre el número de clientes y el esperado, elevado al cuadrado, multiplicado por la probabilidad de que entre ese número de clientes. Esto se hace para cada nº de clientes y se suma:

0.15•(0-2)^2 + 0.25•(1-2)^2 + 0.25•(2-2)^2 + 0.20•(3-2)^2 + 0.10•(4-2)^2 + 0.05•(5-2)^2 =

= 0.15*4 + 0.25*1 + 0.25*0 + 0.20*1 + 0.10*4 + 0.05*9 = 0.60+0.25+0+0.20+0.40+0.45 = 1.9

Distribución binomial

2. Suponga que un cierto rasgo (color de ojos, ser zurdo, etc.) se determina por un par de genes, y que además d representa un gen dominante, y r un gen recesivo. Una persona con una pareja de genes se dice que es dominante puro y con la pareja de genes se dice que es recesiva pura y con una pareja se dice que es híbrida. En apariencia, los dominantes puros y los híbridos son similares. Les descendientes de una pareja reciben un gen de cada progenitor y este gen puede, con la misma probabilidad, ser uno cualquiera de los dos que posee el progenitor citado.

a. Explicar claramente por qué se trata de una distribución binomial.

b. ¿Cuál es la probabilidad de que un descendiente de dos progenitores híbridos tenga la apariencia contraria a la de ellos? Elaborar un diagrama para el cálculo de la probabilidad.

c. Suponga que dos padres híbridos tienen cuatro descendientes, ¿cuál es la probabilidad de que uno de los cuatro descendientes tengan una apariencia recesiva?

Respuestas

a). es binomial porque la persona siempre recibirá 2 genes (uno de cada progenitor) y cada uno de ellos tiene la misma probabilidad de éxito que de fracaso de ser recibida desde el progenitor.

b). Genes prog. hib 1 = (d,r)

Genes prog. hib 2 = (d,r)

Luego el descendiente debe tener el par (r,r) para tener apariencia contraria, entonces:

probabilidad de obtener gen r de prog, 1 es 0,5

probabilidad de obtener gen r de prog. 2 es 0,5

Luego probabilidad de formar la pareja (r,r) es 0,5*0,5 = 0,25 =25%

P(tener apariencia contraria) = 25%

c). Padre hib,1 = (d,r)

Madre hib. 1 = (d,r)

Cada uno de los 4 hijos puede tener las siguientes combinaciones de genes:

(d,d) (d,r) (r,d) (r,r) (solo en 1

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