Diseños factoriales 2k.

Diseños factoriales 2k

1. Competencias

Aplicar los diseños factoriales 22 , 23 y 2k y tomar decisiones acerca de cuándo se debe aplicar cada diseño. Diseñar un experimento factorial 25 no replicado para aplicarlo a diversos casos. Explicar las ventajas y desventajas de aplicar el diseño factorial 2k en bloques o con punto al centro.

2. Diseños factoriales 22

Con un diseño factorial 22 se estudia el efecto de dos factores considerando dos niveles en cada uno. Cada réplica de este diseño consiste de 2 2 = 4 combina- ciones o tratamientos que se pueden denotar de diferentes maneras. En la tabla 1 se muestran diferentes maneras de escribir los cuatro tratamientos que conforman el diseño factorial 22 :

La notación de Yates [(1); a; b; ab] tiene un signi…cado diferente a las demás: con ella se representa el total o suma de las observaciones en cada tratamiento. En especi…co, (1) es la suma de todos los datos obtenidos en el tratamiento ( 1; 1); a es la suma de todas las mediciones hechas en la combinación (1; 1), y así suce- sivamente.

2.1. Representación geométrica. El diseño factorial 22 se representa ge- ométricamente por los vértices del cuadrado de la …gura 1. Cada vértice representa un punto de diseño o tratamiento. El área limitada por este cuadrado se conoce como región experimental y en principio las conclusiones que se obtengan del ex- perinento sólo tienen validez sobre esta región.

2.2. Cálculo de los efectos . En este diseño hay tres efectos de interés: los dos efectos principales (A y B) y el efecto de interacción (AB). Con el uso de la notación de Yates como los totales de las n repeticiones en cada punto de diseño, se tiene:

(2.1) Ef ecto A =

(2.2) Ef ecto B =

1

2n [a + ab b (1)] =

1

2n [b + ab a (1)] =

8 3

1

2n [a + ab]

1

2n [b + ab]

1

[b + (1)]

2n

1

[a + (1)]

2n

(2.3) Ef ecto AB =

1

2n [ab + (1) a b] =

1

2n [ab b]

1

2n [a (1)]

Geométricamente, el efecto A equivale a promediar los datos del lado derecho del cuadrado de la …gura 1 y restarles el promedio de los datos del lado izquierdo; mientras que para el efecto B se promedian los datos del lado de arriba y se le resta la media de los datos del lado de abajo. Geométricamente, la interacción es la diferencia entre las medias de las diagonales del cuadrado de la …gura 1.

2.3. Análisis de varianza. Aunque los efectos calculados dados sean números distintos de cero, esto no implica que el efecto correspondiente sea estadísticamente diferente de cero. O si en su representación grá…ca aparentan ser importantes, eso tampoco es su…ciente para concluir que afectan de manera signi…cativa la variable de respuesta. Para poder a…rmar que tales efectos contribuyen a explicar el com- portamiento de la respuesta, se debe hacer un análisis de varianza. Las sumas de cuadrados que componen el ANOVA se pueden calcular apartir de los efectos estimados.

2.3.1. De…nición de contraste. Una combinación lineal de la forma C =

2k 2k

Xci Yi , con Xci = 0 se llama contraste. La suma de cuadrados para cualquier

i=1

i=1

contraste C está dada por

2k 2k

(2.4) SC C = Xci Yi nXc2

i=1

i=1

la cual tiene sólo un grado de libertad. Por ejemplo, los contrastes correspondientes a los tres efectos A, B y AB en el diseño factorial 22 están dados por

C ontraste A = [a + ab b (1)]

C ontraste B = [b + ab a (1)]

C ontraste AB = [ab + (1) a b]

que como hemos visto, son las cantidades que de…nen a los efectos. Son contrastes por el hecho de que son combinaciones lineales donde los coe…cientes suman cero (1+1 1 1 = 0). Una vez obtenido el contraste, el efecto correspondiente se obtiene dividiéndolo entre la constante que lo convierta en una diferencia de medias; este número es la mitad de las observaciones hechas en el experimento [(véase ecuaciones (2.1), (2.2) y (2.3)]. Por ejemplo, en el factorial 2k con n réplicas, los contrastes se dividen por n2(k 1) para estimar los efectos; en particular para el diseño 22 con n réplicas se divide por n2(2 1) = 2n.

2.3.2. Métodos para calcular contrastes. Los contrastes de cualquier efecto, sea principal o de interacción en el diseño factorial 2k , se obtienen mediante el aux- ilio de tabla de signos,

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