Diseños Factoriales

5.1 Metodología del diseño experimental de bloques al azar.

En muchos problemas de diseño experimental es necesario diseñar el experimento de modo que sea posible controlar la variabilidad generada por un factor indeseable. El procedimiento general para el diseño aleatorizado por bloques completos consiste en seleccionar b bloques y realizar una réplica completa del experimento en cada uno de ellos. En la tabla 4.1 aparecen los datos que se obtienen al aplicar un diseño aleatorizado por bloques completos para investigar un solo factor con a niveles y b bloques. En cada bloque existen a observaciones (una por cada nivel del factor), y el orden en que se toman estas observaciones se asigna de manera aleatoria dentro del bloque.

Suponga que tiene interés en un solo factor que tiene a niveles, y que el experimento se efectúa en b bloques. Las observaciones pueden presentarse con el modelo estadístico lineal

Donde μ es la media global, iτ es el efecto del i-ésimo tratamiento, jβ es el efecto del j-ésimo bloque y jiε es el término de error aleatorio, el cual se supone que tiene una distribución normal e independiente con media cero y varianza ().En principio, los efectos de los tratamientos y de bloques son considerados como factores fijos. Por otro lado, los efectos de los tratamientos y de los bloques son definidos como desviaciones de la media global.

5.2 Diseño de experimentos factoriales.

En cualquier experimento diseñado, es siempre importante examinar los residuos y verificar si se violan las suposiciones básicas (Normalidad, Independencia, Aditivita e Igualdad de varianzas) que pueden invalidar los resultados.

Los valores de los residuos del diseño aleatorizado por bloques completos se obtienen, como es usual, por la diferencia entre los valores observados y los estimados

El análisis de varianza del modelo supone que las observaciones están distribuidas de manera normal e independiente, con la misma varianza para cada tratamiento o nivel del factor. Estas suposiciones deben verificarse mediante el análisis de los residuos.

La suposición de normalidad puede verificarse mediante la construcción de una gráfica de probabilidad normal de los residuos. Para esto, los residuos se agrupan en una tabla de distribución de frecuencias, se calcula la frecuencia relativa acumulada para cada valor y se grafican en una hoja de papel de probabilidad normal. Si la suposición es válida los puntos tenderán a agruparse sobre una línea recta que pasa por el punto medio.

5.3Diseños factoriales 2k

En diseños industriales es frecuente considerar dos niveles para cada uno de los factores que pueden intervenir en el diseño experimental. Un diseño con k factores que tienen dos niveles requiere un número de replicaciones igual a 2k observaciones. En este tipo de modelos se asume que los efectos son fijos y la aleatorización completa y se consideran las mismas restricciones que en el caso de los diseños factoriales típicas

El diseño 22

Se consideran dos factores A y B con dos niveles:

-bajo: 0

-alto: 1

Los niveles altos de los factores se representan mediante las letras a y b respectivamente y los niveles bajos se representan por la ausencia de dichas letras. Si ambos niveles son bajos se considera un valor igual a (1).

(0,0) =⇒ (1)

(1,0) =⇒ a

(0,1) =⇒ b

(1,1) =⇒ ab

(1), a, b y ab son las respuestas para las n réplicas. Los efectos medios de A y B son:

A=1/2n(ab+a-b-(1)

B=1/2n(ab+a-b-(1)

Estos valores se obtienen considerando que, por ejemplo, el efecto de A se obtiene como la diferencia entre el nivel alto del factor menos el nivel bajo (en cada caso en relación a los niveles del otro factor): El efecto of A en el nivel bajo de B es (a−(1))/n y el efecto of A en el nivel alto de B es (ab−b)/n.

Así, el efecto medio de A es

A=(ab+a)/2n-(b+1)/2n=1/2n(ab+a-b-(1)

El efecto de la interacción AB se define como la diferencia media entre el efecto de A al nivel alto de B, y el efecto de A al nivel bajo de B:

AB =1/2n [(ab−b)−(a−(1))] =

1/2n [ab+ (1)−a−b].

Del mismo modo se puede definir BA, obteniéndose que AB = BA.

En general, se trata de medir la importancia y el efecto de los factores que intervienen, en términos de la magnitud y del signo de los efectos anteriores.

Suma de Cuadrados del Factor = 1/(n∑_(i=1)^a▒c)( ∑_(i=1)^a▒ciyi)2

Así, en este caso,

SCA = (ab+a-b-(1)2)/4n

SCB== (ab+b-a-(1)2)/4n

SCAB= (ab+(1)-a-b2)/4n

La tabla de análisis de la varianza es, entonces,

f.v s.c g.l m.c f

factor A scA 1 FA=SCA/MCE

factor B scB 1 FB=SCB/MCE

interaccion scAB 1 FAB=SCAB/MCE

residual SCE 4(n-1) MCE=sce/4(n-1)

total SCT 4n-1

5.4 Diseño de cuadros latinos.

El diseño de cuadrado latino se utiliza para eliminar

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