Diseños Factoriales

CONTENIDO

1. concepto de replicación fraccionada

2. Fracción un medio del diseño 2k

3. Resolución del diseño

1. Concepto de replicación fraccionada

Conforme el número de factores del experimento crece, el número de casillas o condiciones experimentales (y por lo tanto el número de lecturas o pruebas necesarias), crece exponencialmente en un experimento factorial. El número de efectos a evaluar (interacciones principalmente) crece exponencialmente también. El número de efectos y casillas varía con el número de factores en una relación como se muestra en la tabla siguiente para un experimento factorial 2k.

Así por ejemplo cuando se tienen siete factores, existen 128 posibles condiciones experimentales, lo que implica que al hacer una replicación por celda de todo el experimento requiere un total de 128 observaciones. Si se decide tomar dos replicas por celda, entonces serian necesarias 256 observaciones, lo cual es una cantidad excesiva de pruebas para fines prácticos.

Por otro lado, se necesitan 128 observaciones para un experimento con 7 factores por que se deben evaluar 127 posibles efectos (que son los grados de libertad totales en 128 observaciones) de estos efectos 7 son los factores principales, 21 interacciones de 2 factores, 35 de tres, 35 de cuatro, 27 de cinco en cinco, 7 de seis en seis y una interacción de 7 factores. En general el número de interacciones de k factores tomados r en r es:

El concepto de replicación fraccionada parte de las siguientes hipótesis:

1. Las interacciones de tres o más factores son sumamente raras en la práctica, por lo que en general se pueden suponer como no existentes.

2. En un experimento de varios factores lo más probable es que solo algunos de ellos sean relevantes para la variable de respuesta.

3. La mayor parte del efecto se debe a los factores principales y algunas interacciones de dos factores.

Lo anterior implica que por ejemplo para siete factores son necesarios probablemente solo 28 grados de libertad (7 factores principales y 21 interacciones de dos factores), y esto equivale a solo 29 unidades de información y no 128 como en el experimento original. Esto quiere decir que no es necesario el correr una replicación completa de todo el experimento cuando el número de factores crece, sino solamente algunas casillas o condiciones experimentales.

Cuando solamente una parte de las posibles casillas se prueban, se dice que se tiene una replicación fraccionada del experimento.

Las preguntas que surgen son:

1. ¿Cuántas y cuales casillas probar?

2. ¿Cómo analizar los resultados?

3. ¿Qué información se pierde?

El responder a estas preguntas es uno de los objetivos de la replicación fraccionaria.

2. Fracción un medio del diseño 2k

C

onsidérese el caso en el que se estudian tres factores de dos niveles cada uno, pero en el que los experimentadores no pueden costear las 23 = 8 combinaciones de tratamientos, sin embargo, si se puede costear 4 observaciones. Esto sugiere una fracción un medio, de un diseño 23. la fracción un medio del diseño 23 se conoce también como un diseño 23-1 por que tiene 23-1 = 4 combinaciones de tratamiento.

En la tabla 1 aparecen signos positivos y negativos del diseño 23. Supóngase que para componer la fracción un medio, se seleccionan las combinaciones de tratamientos se usa indistintamente la notación convencional (a,b,c,...) y la de signos positivos y negativos. La equivalencia de las dos notaciones se muestra a continuación.

Notación 1 Notación 2

a + - -

b - + -

c - - +

abc + + +

Combinación de

Tratamientos Efecto factorial

I

A

B

C

AB

AC

BC

ABC

a + + - - - - + +

b + - + - - + - +

c + - - + + - - +

abc + + + + + + + +

ab + + + - + - - -

ac + + - + - + - -

bc + - + + - - + -

(1) + - - - + + + -

Tabla 1 Signos positivos para el diseño 23

Nótese que el diseño 23-1 se forma al seleccionar solo las combinaciones de tratamientos que producen un signo positivo sobre la columna ABC. Por esto ABC se denomina generador de una fracción particular. Además, la columna identidad I siempre es positiva, por lo cual:

I = ABC

Se denominara relación definitoria de nuestro diseño, en general, la relación definitoria de un factorial fraccionario siempre es el conjunto de todas las columnas que son iguales a la columna identidad I.

Las combinaciones de tratamientos del diseño 23-1 producen 3 G.L. que pueden usase para estimar los efectos principales. En la tabla 1 se muestra que las combinaciones lineales de las observaciones que se utilizan para estimar los efectos principales A, B, y C son:

Por lo tanto LA = LBC, LB = LAC y LC = LAB. En consecuencia, es imposible distinguir entre A y BC, entre B

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