Guia De Universidad 2015

1 Razonamiento aritmético

La aritmética es una rama de la matemática tan elemental como antigua, que nos permite resolver problemas de suma utilidad dentro de nuestro convivir diario.

1.1.1 Jerarquía de operaciones básicas

1.1.1.1|Operaciones combinadas de suma, resta, mul triplicación y división con números enteros

1+1=2 3x3=9 4/2= 2

1.1.1.2|Problemas con suma, resta, multiplicación y división con números decimales y fracciones

Suma de fracciones

Resta de fracciones

Multiplicación de fracciones

División de fracciones

|1.1.2 Relaciones de proporcionalidad

Dos magnitudes son directamente proporcionales si al incrementarse o disminuir una de ellas, la otra lo hace en la misma proporción.

Por ejemplo:

2 camisas cuestan 30 euros

Si el número de camisas se incrementa (por ejemplo, lo multiplicamos por 2) el precio aumenta en la misma proporción

4 camisas cuestan 60 euros (el precio también se ha multiplicado por 2).

1.1.2.1 Problemas con razones

1.2.1 Expresiones algebraicas

Una expresión algebraica es un conjunto de cantidades numéricas y literales relacionadas entre sí¬ por los signos de las operaciones aritméticas como sumas, diferencias, multiplicaciones, divisiones, potencias y extracción de raí¬ces.

Algunos ejemplos de expresiones algebraicas son:

o

1.2.1.1 Operaciones con monomios

Suma de monomios

Sólo podemos sumar monomios semejantes.

La suma de los monomios es otro monomio que tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes.

axn + bxn= (a + b)x n

Ejemplo:

2x2y3z + 3x2y3z = (2 + 3)x2y3z = 5x2y3z

3. Multiplicación de monomios

La multiplicación de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene multiplicando las potencias que tengan la misma base, es decir, sumando los exponentes.

axn• bxm= (a • b)xn + m

Ejemplo:

(5x2y3z) • (2y2z2) = (2 • 5) x2y3+2z1+2 = 10x2y5z3

4. División de monomios

Sólo se pueden dividir monomios cuando:

1Tienen la misma parte literal2El grado del dividendo es mayor o igual que el del divisor

La división de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el cociente de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo las potencias que tengan la misma base, es decir, restando los exponentes.

axn: bxm= (a : b)xn − m

Ejemplo:

. Potencia de un monomio

Para realizar la potencia de un monomio se eleva, cada elemento de este, al exponente que indique la potencia.

(axn)m = am• xn • m

Ejemplos:

(2x3)3 = 23 • (x3)3= 8x9

(−3x2)3 = (−3)3 • (x2)3= −27x6

1.2.1.2 Operaciones con polinomios

Suma de polinomios.

Para sumar polinomios, sumamos entre sí aquellos monomios que tengan la misma parte literal.

Por ejemplo, consideremos los polinomios

P(x)= 3x5 + 2x3 - 5x2 + 6 y Q(x) = 8x3 + 3x2 - x - 4

El polinomio resultante de la suma P(x) + Q(x)= 3x5 + 10x3 - 2x2 - x + 2

Fíjate, aquellos monomios cuya parte literal aparece en un polinomio los hemos copiado y hemos sumado aquellos monomios que tenían la misma parte literal:

2x3 + 8x3 = 10x3

-5x2 + 3x2 = -2x3

6 - 4 = 2

Resta de polinomios

La resta de polinomios consiste en sumar al minuendo el opuesto del sustraendo.

P(x) − Q(x) = (2x3 + 5x − 3) − (2x3 − 3x2 + 4x)

P(x) − Q(x) = 2x3 + 5x − 3 − 2x3 + 3x2 − 4x

P(x) − Q(x) = 2x3 − 2x3 + 3x2 + 5x − 4x − 3

P(x) − Q(x) = 3x2 + x − 3

1. Multiplicación de un número por un polinomio

Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número y dejando las mismas partes literales.

Ejemplo:

3 • (2x3 − 3x2 + 4x − 2) = 6x3 − 9x2 + 12x − 6

1.2.2 Productos notables

Productos notables es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones algebraicas que cumplen ciertas reglas fijas, cuyo resultado se puede escribir mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación

1.2.2.1 Binomio al cuadrado: (a + b)2

binomio cuadrado

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, más el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.

Demostración:

Ejemplo

(a + b)2 = a2 + 2 • a • b + b2

(x + 3)2 = x 2 + 2 • x •3 + 3 2 = x 2 + 6 x + 9

1.2.2.2 Binomios conjugados: (a + b) (a - b)

BINOMIOS CONJUGADOS (a+b)(a-b)

El producto de la suma o diferencia de dos números (conjugados) es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término.

Ejemplo

1.2.2.3 Binomios con término común: (a + b) (a + c)

1.- ( 7x +9) (7x – 14)= 49x^2 -35 x – 126

a) El cuadrado del término común.

(7x)2= (7x) (7x) = 49x^2

b) La suma de los términos no comunes por el término común.

(9-14) (7x) = (-5) (7x) = -35x

c) Se multiplican los términos no comunes.

(9) (-14) = -126

2.- ( a + c) (a + d) = a2 + a ( c + d) + cd

a) el cuadrado del término común (a)^2 = a^2

b) La suma de los términos no comunes por el término común.

(c + d) (a) = a (c + d) por la Propiedad conmutativa de la multiplicación

c) la multiplicación de los términos no comunes.

(c) (d) = cd

1.2.2.4 Binomios al cubo: (a + b)3

Un binomio al cubo (suma) es igual al cubo del primero, másel triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.

(a + b)3 = a3 + 3 • a2 • b + 3 • a • b2 + b3

(x + 3)3 = x 3 + 3 • x2 • 3 + 3 • x• 32 + 33 =

= x3 + 9x2 + 27x + 27

Binomio de resta al cubo

Un binomio al cubo (resta) es igual al cubo del primero, menos el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo.

(a − b)3 = a3 − 3 • a2 • b + 3 • a • b2 − b3

(2x − 3)3 = (2x)3 − 3 • (2x)2 •3 + 3 • 2x• 32 − 33 =

= 8x 3 − 36 x2 + 54 x – 27

1.2.3 Ecuaciones

Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas.

1.2.3.1 Ecuaciones de primer grado

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

1.2.3.2 Ecuaciones de segundo grado:

Se resuelve mediante la siguiente fórmula:

1.

1.2.4 Sistemas de ecuaciones

Resolver un sistema de ecuaciones consite en encontrar los valores desconocidos de las variables que satisfacen todas las ecuaciones.

1.2.4.1

1.2.4.2

1.2.4.3

1.2.4.4

1.2.4.5

1.2.4.6

1.2.4.7 Ecuaciones con dos o tres incógnitas

1.2.4.2 Ecuaciones con dos o tres incógnitas: aplicación

1.2.5 Representaciones gráficas

1.3.1 Frecuencias e información gráfica

1.3.2 Medidas descriptivas

1.3.2.1 Medidas de tendencia central (media, mediana y moda)

Ejemplo 1:media

En matemáticas, un alumno tiene las siguientes notas: 4, 7, 7, 2, 5, 3

n = 6 (número total de datos)

Mediana

Ejemplo 1:

Se tienen los siguientes datos: 5, 4, 8, 10, 9, 1, 2

Al ordenarlos en forma creciente, es decir de menor a mayor, se tiene: 1, 2, 4, 5, 8, 9, 10

El 5 corresponde a la Med, porque es el valor central en este conjunto de datos impares.

Moda (Mo)

Es la medida que indica cual dato tiene la mayor frecuencia en un conjunto de datos; o sea, cual se repite más.

Ejemplo 1:

Determinar la moda en el siguiente conjunto de datos que corresponden a las edades de niñas de un Jardín Infantil.

5, 7, 3, 3, 7, 8, 3, 5, 9, 5, 3, 4, 3

La edad que más se repite es 3, por lo tanto, la Moda es 3 (Mo = 3)

1.3.2.2 Medidas de variabilidad(varianza y desviación estándar)

1.Hallar la desviación media, la varianza y la desviación típica de la series de números siguientes:

2, 3, 6, 8, 11.

12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.

Media

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