MOMENTO LINEAL Y COLISIONES

1 MOMENTO LINEAL Y COLISIONES

1.1 MOMENTO LINEAL E IMPULSO

MOMENTO LINEAL

La cantidad de movimiento o momento lineal p = m (kg) x v (m/s), para un objeto simple, corresponde a una magnitud vectorial que tiene la misma dirección que la velocidad; una masa por su velocidad. Esta velocidad se puede resolver en sus componentes rectangulares, a saber:

px = m vx y py = m vy

Para un sistema de más partículas, cuerpos u objetos, la “Cantidad de movimiento lineal p”, es el total o vector suma de la cantidad de movimiento de las partículas individuales.

px = p1 + p2 + p3 + … + pn

La energía cinética (EC) de un cuerpo es la que posee debido a su movimiento. Produce un trabajo para acelerar un cuerpo de cierta masa, desde el punto de reposo hasta la velocidad indicada. Mantiene la velocidad hasta un cambio de la misma.

Caso contrario, si se quiere regresar o detener, requiere un trabajo contrario o negativo de la magnitud. Casi siempre se expresa como “K” o “Ec”, que corresponde a un medio de la masa por su velocidad al cuadrado, dado en (J) Joules por ser kg-m/s2.

Fórmula:

“K” o “Ec” o “E” = 1 x m x v2

2

IMPULSO

Este es conocido como la fuerza (F) ejercida por la diferencia del tiempo (Δt), que es igual al Δp (la diferencia entre el momento lineal final y el momento lineal inicial) o diferencia de cada momento lineal, es decir, un cambio en la cantidad de movimiento del cuerpo; se utiliza la fórmula:

Δp = pf – pi

Dado que pf = mf vf y pi = mi vi

F Δt = Δp = mf vf – mi vi

I = mf vf – mi vi

Si esa fuerza es aplicada durante un tiempo determinado, se aplica la fórmula:

F = I = (mf vf - mi vi) / t

En algunos casos la masa es la misma, por lo cual se puede expresar como:

F = I = m (vf - vi) / t

1.2 CONSERVACIÓN DEL MOMENTO LINEAL PARA UN SISTEMA DE DOS PARTÍCULAS

Consistente a la primera Ley de Newton, un cuerpo en reposo tiene cantidad de movimiento cero (0), p es constante, movimiento con velocidad uniforme, a menos que actué una fuerza (en Newton) externa sobre el objeto o cuerpo.

F = Δp = 0 Δp = 0 = pf - pi = mf vf - mi vi

Δt

Donde:

pf = cantidad de movimiento en un tiempo posterior.

pi = cantidad de movimiento inicial.

Cuando se igualan la cantidad de movimiento

pf = pi implica mf vf = mi vi

Esta condición se conoce como “Ley de Conservación de la Cantidad de Movimiento Lineal”.

1.3 COLISIONES O CHOQUES

Según la segunda ley de Newton, la fuerza es igual a la variación del momento lineal con respecto al tiempo. Si la fuerza resultante es cero, el momento lineal es constante. Ésta es una ley general de la Física y se cumplirá ya sea el choque elástico o inelástico. En el caso de un choque:

P = ∑ mi vi = cte

i = 1

Esto supone, que en todo choque el momento lineal pi antes de la interacción será igual al momento lineal pf (posterior al choque).

pi = pf

En términos matemáticos esta ley se expresa mediante la relación:

Fnet = Δ(p)

Δt

p = momento lineal, que puede reescribirse como (mv), masa del cuerpo por la velocidad del mismo, entonces:

Fnet = d (mv)

d t

Pero con una masa constante se escribe como dv / dt viene a ser la aceleración, por lo cual concluimos en:

F = m x a

Ecuación fundamental de dinámica. A mayor masa mayor inercia.

La cantidad de movimiento lineal p se conserva en todas las colisiones (en ausencia de fuerzas externas) y se presentan dos tipos las colisiones: elásticas y las inelásticas.

ELÁSTICAS

La energía cinética total se conserva, esto es que la energía de todos los cuerpos del sistema, después de la colisión es la misma que antes.

(después) Kf = Ki (antes)

o

(después) (ECf) = (ECi) (antes)

Para calcular las velocidades de dos objetos en un choque elástico, se utilizan las fórmulas:

v1 = m1 - m2 v1o

m1 + m2

v2 = 2 m1 v1o

m1 + m2

Para determinar la posición a que se encuentren los objetos, después de la colisión, se utilizan las fórmulas:

X1 = v1 t X2 = v2 t

Ejemplo:

Un objeto de 0,30 kg con una rapidez de 2,0 m/s en la dirección positiva x tiene una colisión frontal elástica con otro objeto estacionado de 0,70 kg, localizado en x = 0. ¿Cuál es la distancia que separa los objetos 2,5 s después de la colisión?

Datos: m1 = 0,3 kg; m2 = 0,7 kg; v = 2,0 m/s; t = 2,5 s;

Distancia de separación a encontrar: Δx = x2 – x1

V1 = 0,30 kg - 0,70 kg (2,0 m/s) = - 0,80 m/s

0,30 kg + 0,70 kg

V2 = 2 (0,30 kg)___ (2,0 m/s) = - 1,20 m/s

0,30 kg + 0,70 kg

X1 = - 0,80 m/s (2,5 s) = - 2,0 m X2 = - 1,20 m/s (2,5 s) = 3,0 m

Respuesta: Δx = 3 m – (-2 m) = 5,0 m Los objetos están separados cinco metros en el instante de 2,5 segundos después de la colisión.

La cantidad de movimiento lineal se expresa de la siguiente manera:

Antes del choque: pi = m1 v1i + m2 v2i

Ei = 1 (m1 v21i + m2 v22i)

2

Después del choque: pi = m1 v1f + m2 v2f

Ei = 1 (m1 v21f + m2 v22f)

2

INELÁSTICAS

La energía cinética total no se conserva, en uno o más de los objetos, pues no regresan a su forma original. Dado que se ha realizado un trabajo y se ha perdido parte de la energía cinética.

(después) Kf < Ki (antes)

o

(después) ECf < ECi (antes)

También tenemos que la velocidad está dada por la formula:

v = m1 vo

m1 + m2

Además el porcentaje o parte fraccionaria de la energía cinética se obtiene de:

Kf = m1____ X 100 %

Ki m1 + m2

La cantidad de movimiento se conserva en todas las colisiones por lo que:

pf = p1o = m1 v1

COMPLETAMENTE INELÁSTICAS

Se disipa el máximo de energía, no siendo toda la energía cinética, ya que la conservación de la cantidad de movimiento impone que el sistema se mueva tras la colisión y por lo tanto se conserve parte de la energía cinética. Estas se dan cuando las dos partículas se fusionan (los cuerpos se mantienen juntos) y continúan su marcha como una sola partícula con masa la suma de las dos originales.

v = m1 vo

m1 + m2

El momento lineal se expresa antes y después del choque como:

Antes del choque: p = m1 v1i + m2 v2i

Después del choque: pf = (m1 + m2) vf

Por conservación del momento lineal:

m1 v1i + m2 v2i = (m1 + m2) vf

Ejemplo choque completamente inelástico:

Una bola de 1,0 kg con una rapidez de 4,5 m/s, choca contra una bola estacionaria de 2,0 kg. Si la colisión es completamente inelástica, (a) ¿Cuál es la rapidez de cada una de las bolas después de la colisión (v)? (b) ¿Qué porcentaje de la energía cinética inicial deben tener después de la colisión? (c) ¿Cuál es la cantidad de movimiento total después de la colisión pf?

Datos: m1 = 1,0 kg m2 = 2,0 kg vi = 4,5 m/s

a) Como es una colisión completamente inelástica, las dos bolas se mantienen juntas y tienen la misma rapidez después de la colisión. Se aplica la fórmula:

v = m1 vo

m1 + m2

v = 1,0 4,5 = 1,5 m/s

1,0 + 2,0

La rapidez es de 1,5 m/s.

b) La parte fraccionaria de la energía cinética que tienen las bolas después de la colisión completamente inelástica, se expresa por la fórmula:

Kf = m1___ X 100%

Ki m1 + m2

Kf = __1__ x 100% = 0,33 x 100% = 33%

Ki 1 + 2

El porcentaje de la energía cinética inicial que tiene después de la colisión es de 33%.

c) La cantidad de movimiento se conserva en todas las colisiones (en ausencia de fuerzas externas), de modo que es el mismo que antes y se establece por la fórmula:

p1 = m1 vi = (1,0 kg) (4,5 m/s) = 4,5 kg-m/s

La cantidad de movimiento total después de la colisión es de: 4,5 kg-m/s

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